5.7G Mostre que y(x)=C cos 2 x é a solução geral do sistema ly^prime prime+4 y=0 y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
y'' + 4y = 0
sujeita à condição inicial
y'(0) = 0
O conteúdo necessário é o método da equação característica para EDOs com coeficientes constantes.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada a
y'' + 4y = 0
como
r^2 + 4 = 0
Resolvendo, obtemos as raízes complexas conjugadas
r = pm 2,i

Passo 3

Para raízes r = alpha pm beta i a solução geral real é
y(x) = A cos(beta x) + B sin(beta x)
No nosso caso, alpha=0 e beta=2, logo
y(x) = A cos(2x) + B sin(2x)

Passo 4

Agora impomos a condição inicial y'(0)=0. Primeiro calculamos a derivada:
y'(x) = -2A sin(2x) + 2B cos(2x)
Em seguida, avaliamos em x=0:
y'(0) = -2Asin(0) + 2Bcos(0) = 2B

Passo 5

Como y'(0)=0, temos
2B = 0 Longrightarrow B=0
Portanto a solução reduz a
y(x) = A cos(2x)
Renomeando a constante A para C, obtemos
y(x) = C cos(2x)

Resposta

y(x) = C cos(2x)

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