1. Se 2^sen x arctg y=pi3, determine o coeficiente angular da reta que tangencia essa curva no ponto em que y=raiz3.

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
2^sin x,arctan y = pi3
e pede o coeficiente angular y'=dydx da reta tangente a essa curva no ponto em que y=raiz3.
Para isso, vamos usar diferenciação implícita em relação a x e depois determinar o valor de x compatível com y=raiz3.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de
2^sin x,arctan y = pi3
em relação a x, obtemos
ddxl(2^sin xr),arctan y ;+; 2^sin x,ddxl(arctan yr) ;=; 0
Agora calculamos cada derivada:
  • ddxl(2^sin xr) = 2^sin x,ln 2;cos x
  • ddxl(arctan yr) = y'1+y^2

Passo 3

Substituindo essas expressões na soma e agrupando, vem
2^sin x,ln 2,cos x;arctan y ;+; 2^sin x,y'1+y^2 ;=; 0
Dividindo por 2^sin x e isolando y', obtemos
y'1+y^2 = -ln 2,cos x;arctan y Longrightarrow y' = -ln 2;cos x;arctan y;l(1+y^2r)

Passo 4

Para achar x quando y=raiz3, usamos a curva original:
2^sin x,arctan(raiz3) = pi3
Como arctan(raiz3) = pi3, isso dá
2^sin x,pi3 = pi3 Longrightarrow 2^sin x = 1 Longrightarrow sin x = 0
Escolhendo o valor mais simples x=0 (onde cos x=1), temos o ponto em que y=raiz3.

Passo 5

Substituindo y=raiz3, cos x=1 e arctan(raiz3)=pi3 na fórmula de y':
y' = -ln 2 ;cdot 1 ;cdot pi3;l(1 + (raiz3)^2r) = -ln 2;pi3;(1+3) = -4pi3,ln 2

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente nesse ponto é
-4pi3,ln 2

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