Exercício 10. Mostre que as funções abaixo são convexas em R^n.
f(x)=|x|^p, para p >= 1 real.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
fcolon R^n to R, f(x)=|x|^p
é convexa sempre que p>=1. O conteúdo que vamos usar é a convexidade de normas, a convexidade e monotonicidade da função real varphi(u)=u^p em [0,infty) e o fato de que a composição de uma função convexa não decrescente com uma convexa é convexa.

Passo 2

Definimos
h(x)=|x|,
que é convexa em R^n pois toda norma satisfaz a desigualdade triangular e é positiva-homogênea. Agora considere
varphicolon [0,infty)to[0,infty), varphi(u)=u^p
Calculamos as derivadas de varphi:
varphi'(u)=p,u^p-1>=0, varphi''(u)=p(p-1),u^p-2>=0
para todo u>0 e p>=1. Logo varphi é convexa e não decrescente em [0,infty).

Passo 3

Pelo teorema de composição, se h é convexa e varphi é convexa e não decrescente, então
f(x) = varphil(h(x)r)
é convexa em R^n. No caso p=1, varphi(u)=u é linear, portanto a composição com a norma também é convexa.

Resposta

A função f(x)=|x|^p é convexa em R^n para todo p>=1.

Exercícios relacionados