Exercício 10. Mostre que as funções abaixo são convexas em
.
, para
real.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é convexa sempre que
. O conteúdo que vamos usar é a convexidade de normas, a convexidade e monotonicidade da função real
em
e o fato de que a composição de uma função convexa não decrescente com uma convexa é convexa.
Passo 2
Definimos
que é convexa em
pois toda norma satisfaz a desigualdade triangular e é positiva-homogênea. Agora considere
Calculamos as derivadas de
:
para todo
e
. Logo
é convexa e não decrescente em
.
Passo 3
Pelo teorema de composição, se
é convexa e
é convexa e não decrescente, então
é convexa em
. No caso
,
é linear, portanto a composição com a norma também é convexa.
Resposta
A função
é convexa em
para todo
.