Calcule as derivadas das funções abaixo:
f(x)=3 raizxe^x^2;

Passo 1

Temos a função
f(x)=3raizxe^x^2,
e queremos calcular f'(x). Para isso vai ser preciso usar:
– a regra do produto (ou do quociente)
– a regra da cadeia
– a derivada de potência l(x^1/2r)'
– a derivada de exponencial l(e^-x^2r)'

Passo 2

Para facilitar, reescrevemos f como produto:
f(x)=3,x^1/2,e^-x^2

Passo 3

Note que f(x)=3,g(x), onde
g(x)=x^1/2,e^-x^2
Logo
f'(x)=3,g'(x)
E em g(x) reconhecemos um produto u(x),v(x) com
u(x)=x^1/2, v(x)=e^-x^2

Passo 4

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=12x^-1/2=12raizx, v'(x)=(-2x),e^-x^2

Passo 5

Pela regra do produto,
g'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x) =12raizx,e^-x^2+x^1/2,(-2x),e^-x^2
Multiplicando por 3,
f'(x)=3gl(12raizxe^-x^2-2x^3/2e^-x^2gr)

Passo 6

Fatorando e^-x^2 e combinando termos sobre o mesmo denominador:
f'(x) =3e^-x^2gl(12raizx-2x^3/2gr) =3e^-x^2,1-4x^22raizx

Resposta

f'(x)=3e^-x^2,l(1-4x^2r)2raizx

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