5.7I Resolva os seguintes problemas de valor inicial (p.v.i.). Nos problemas de segunda ordem use a substituição z=y^prime :
y^prime-y=1 ; y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' - y = 1, y(0)=0
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a ODE na forma padrão
y' + P(x),y = Q(x),
identificando
P(x) = -1, Q(x)=1

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) como
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral (-1),dx = e^-x

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x) e usamos que o lado esquerdo vira derivada de produto:
e^-xy' - e^-xy = e^-x Longrightarrow ddxl(e^-xyr) = e^-x
Agora integramos ambos os lados:
e^-xy = integral e^-x,dx = -e^-x + C

Passo 5

Isolamos y:
y = -1 + C,e^x
Aplicando a condição inicial y(0)=0
0 = -1 + CLongrightarrow C=1,
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y = -1 + e^x

Resposta

y(x) = e^x - 1

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