Exercício 12. Pode-se provar que o conjunto dos pontos onde uma função convexa
não é diferenciável tem medida nula
em
e, neste sentido, se diz que funções convexas são diferenciáveis “em quase todo ponto”. O objetivo deste exercício é, por outro lado, construir uma função convexa em um intervalo da reta que não é diferenciável em nenhum número racional.
(i) Dada função
integrável e não decrescente, definimos
por
(ii) No item anterior, mostre que se
é um ponto de descontinuidade de
, então
não é diferenciável em
. Mostre, no entanto, que existem os limites laterais e vale
(iii) Construa uma função não decrescente em um intervalo, que seja descontínua em qualquer número racional.
Dica: Seja
uma enumeração do conjunto
que contem cada racional de
uma, e apenas uma, vez. Seja
uma série convergente de termos positivos. Para cada
, defina
como sendo a soma dos
para todos os
tais que
(a soma da família vazia é zero, por definição). Uma maneira interessante de escrever a função
é através da função
de Heaviside:
Mostre que
é crescente, descontínua nos racionais e contínua nos irracionais.
(iv) Construa uma função convexa em um intervalo e não diferenciável nos números racionais.