Mostre que
F(x1 e1+x2 e2)=(cc x1 & x2 )(cc a & b2 b2 & c )binomx1x2+(cc d & e )binomx1x2+f

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada uma função quadrática em R^2 da forma
F(x,y)=a x^2+b x y+c y^2+d x+e y+f,
ao avaliá-la no vetor x1e1+x2e2 (onde e1,e2 é a base canônica), obtemos a representação matricial
F(x1e1+x2e2) =(x1,x2) a & tfracb2[6pt] tfracb2 & c binomx1x2 +(d,e)binomx1x2+f
Para isso vamos (i) escrever F(x1,x2) em coordenadas, (ii) identificar a matriz simétrica do termo quadrático e (iii) expressar o termo linear e a constante.]

Passo 2

Escrevemos primeiro
v = x1e1+x2e2 ;Longrightarrow; F(v)=F(x1,x2) = a,x1^2 ;+; b,x1x2;+; c,x2^2;+; d,x1;+; e,x2;+; f
Este é o desenvolvimento direto da definição de F em coordenadas (x1,x2).

Passo 3

Repare que o termo quadrático
a,x1^2+b,x1x2+c,x2^2
pode ser escrito como forma bilinear simétrica
(x1,x2) a & tfracb2[6pt] tfracb2 & c binomx1x2,
pois ao multiplicar a matriz simétrica l[a,tfrac b2;tfrac b2,cr] por binomx1x2 e depois à esquerda por (x1,x2), recuperamos exatamente a x1^2+b x1x2+c x2^2.]

Passo 4

O termo linear d,x1+e,x2 é simplesmente o produto
(d,e)binomx1x2

Passo 5

Juntando tudo, temos
F(x1e1+x2e2) =(x1,x2) a & tfracb2[6pt] tfracb2 & c binomx1x2 +(d,e)binomx1x2 +f,
o que era o que queríamos demonstrar.]

Resposta

Fl(x1e1+x2e2r) = l(x1,x2r) a & tfracb2[6pt] tfracb2 & c binomx1x2 + (d,e)binomx1x2 +f ]

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