Exercício 12. Pode-se provar que o conjunto dos pontos onde uma função convexa f: R^n longrightarrow R não é diferenciável tem medida nula ^1 em R^n e, neste sentido, se diz que funções convexas são diferenciáveis “em quase todo ponto”. O objetivo deste exercício é, por outro lado, construir uma função convexa em um intervalo da reta que não é diferenciável em nenhum número racional.
(i) Dada função g:[a, b] longrightarrow R integrável e não decrescente, definimos f:[a, b] longrightarrow R por
f(x)=A+integrala^x g(t) d t
Prove que f é convexa.
(ii) No item anterior, mostre que se ^1 é um ponto de descontinuidade de R^n, então x0 não é diferenciável em g. Mostre, no entanto, que existem os limites laterais e vale
f
(iii) Construa uma função não decrescente em um intervalo, que seja descontínua em qualquer número racional.
Dica: Seja x0 uma enumeração do conjunto f-^prime(x0)=lim x longrightarrow x0^- g(x) e f+^prime(x0)=lim x longrightarrow x0^+ g(x) que contem cada racional de rn uma, e apenas uma, vez. Seja
[a, b] cap Q
uma série convergente de termos positivos. Para cada [a, b], defina sumn=1^+infty an<+infty como sendo a soma dos x in[a, b] para todos os g(x) tais que an (a soma da família vazia é zero, por definição). Uma maneira interessante de escrever a função n é através da função rn <= x de Heaviside:
g
Mostre que u é crescente, descontínua nos racionais e contínua nos irracionais.
(iv) Construa uma função convexa em um intervalo e não diferenciável nos números racionais.

  1. g(x)=sumn=1^+infty an u(x-rn) onde u(t)=l 1, se t>0 0, se t <= 0 O significado desta expressão “medida nula” será visto em breve no nosso curso quando falarmos em integração em g:[a, b] longrightarrow R. É uma generalização direta do mesmo conceito estudado em análise na reta.

Passo 1

O enunciado trata de construir uma função convexa em [a,b]subsetR que falhe em ser diferenciável em todo número racional. Para isso:
  • No item (i) vamos usar que, se g é integrável e não decrescente, então a função
f(x)=A+integrala^xg(t),dt
é convexa, pois sua derivada (quando existe) é g, que é não decrescente.
  • No item (ii) mostraremos que onde g tem descontinuidade (saltos), f não é diferenciável, embora existam derivadas laterais dadas pelos limites de g.
  • No item (iii) construiremos uma função g não decrescente em [a,b] que tenha salto em todo racional e seja contínua nos irracionais, usando uma enumeração rn de [a,b]capQ e uma série sum an<+infty.
  • No item (iv) por fim definiremos
f(x)=integrala^xg(t),dt
com esse g do item (iii), obtendo a convexa desejada e não diferenciável em cada racional.

Passo 2

Prova de convexidade de f.
Para verificar que f é convexa basta mostrar que, para quaisquer x<y<z em [a,b],
f(y)-f(x)y-x<= f(z)-f(y)z-y
Como
f(y)-f(x)=integralx^yg(t),dt, f(z)-f(y)=integraly^zg(t),dt,
e g é não decrescente, temos para todo tin[x,y] a desigualdade g(t)<= g(y) e para todo tin[y,z] a desigualdade g(t)>= g(y). Logo
integralx^yg(t),dt <= (y-x),g(y) e integraly^zg(t),dt >= (z-y),g(y)
Dividindo em cada caso por y-x e por z-y resulta exatamente
f(y)-f(x)y-x<= g(y)<= f(z)-f(y)z-y,
o que implica a convexidade de f.

Passo 3

Não diferenciabilidade nos pontos de salto de g.
Se x0 é ponto de descontinuidade de g, há salto, isto é,
L-=limxto x0^-g(x) e
L+=limxto x0^+g(x) existem, mas L-<L+.
Calculamos a derivada lateral de f em x0:
f-'(x0) =limhto0^-f(x0+h)-f(x0)h =limhto0^-1hintegralx0^x0+hg(t),dt =L-,
f+'(x0) =limhto0^+f(x0+h)-f(x0)h =L+
Como L-<L+, não existe derivada comum em x0, logo f não é diferenciável aí.

Passo 4

Construção de
Cada função e tem salto de tamanho em . Como a série de coeficientes converge, a série de funções converge uniformemente (cada termo tem norma ), logo é não decrescente e contínua nos irracionais (nenhum coincide com ponto de salto), mas em cada racional há salto de tamanho , tornando descontínua em todo racional.

Passo 5

Conclusão e construção final de f.
Tomando g como em

Passo 6

f(x)=integrala^xg(t),dt,
pelo

Resposta

Uma função convexa em [a,b] e não diferenciável em todos os racionais é
f(x)=integrala^xgl(sumn=1^inftyan,u(t-rn)gr)dt,
onde rn enumera [a,b]capQ e sum an<+infty.

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