Exercício 12. Pode-se provar que o conjunto dos pontos onde uma função convexa não é diferenciável tem medida nula em e, neste sentido, se diz que funções convexas são diferenciáveis “em quase todo ponto”. O objetivo deste exercício é, por outro lado, construir uma função convexa em um intervalo da reta que não é diferenciável em nenhum número racional.
(i) Dada função integrável e não decrescente, definimos por
Prove que é convexa.
(ii) No item anterior, mostre que se é um ponto de descontinuidade de , então não é diferenciável em . Mostre, no entanto, que existem os limites laterais e vale
(iii) Construa uma função não decrescente em um intervalo, que seja descontínua em qualquer número racional.
Dica: Seja uma enumeração do conjunto que contem cada racional de uma, e apenas uma, vez. Seja
uma série convergente de termos positivos. Para cada , defina como sendo a soma dos para todos os tais que (a soma da família vazia é zero, por definição). Uma maneira interessante de escrever a função é através da função de Heaviside:
Mostre que u é crescente, descontínua nos racionais e contínua nos irracionais.
(iv) Construa uma função convexa em um intervalo e não diferenciável nos números racionais.
g(x)=sumn=1^+infty an u(x-rn) onde u(t)=l 1, se t>0 0, se t <= 0 O significado desta expressão “medida nula” será visto em breve no nosso curso quando falarmos em integração em g:[a, b] longrightarrow R. É uma generalização direta do mesmo conceito estudado em análise na reta.
Passo 1
O enunciado trata de construir uma função convexa em [a,b]subsetR que falhe em ser diferenciável em todo número racional. Para isso:
No item (i) vamos usar que, se g é integrável e não decrescente, então a função
f(x)=A+integrala^xg(t),dt
é convexa, pois sua derivada (quando existe) é g, que é não decrescente.
No item (ii) mostraremos que onde g tem descontinuidade (saltos), f não é diferenciável, embora existam derivadas laterais dadas pelos limites de g.
No item (iii) construiremos uma função g não decrescente em [a,b] que tenha salto em todo racional e seja contínua nos irracionais, usando uma enumeração rn de [a,b]capQ e uma série sum an<+infty.
No item (iv) por fim definiremos
f(x)=integrala^xg(t),dt
com esse g do item (iii), obtendo a convexa desejada e não diferenciável em cada racional.
Passo 2
Prova de convexidade de f.
Para verificar que f é convexa basta mostrar que, para quaisquer x<y<z em [a,b],
e g é não decrescente, temos para todo tin[x,y] a desigualdade g(t)<= g(y) e para todo tin[y,z] a desigualdade g(t)>= g(y). Logo
integralx^yg(t),dt <= (y-x),g(y) e integraly^zg(t),dt >= (z-y),g(y)
Dividindo em cada caso por y-x e por z-y resulta exatamente
f(y)-f(x)y-x<= g(y)<= f(z)-f(y)z-y,
o que implica a convexidade de f.
Passo 3
Não diferenciabilidade nos pontos de salto de g.
Se x0 é ponto de descontinuidade de g, há salto, isto é, L-=limxto x0^-g(x) e L+=limxto x0^+g(x) existem, mas L-<L+.
Calculamos a derivada lateral de f em x0:
Como L-<L+, não existe derivada comum em x0, logo f não é diferenciável aí.
Passo 4
Construção de
Cada função e tem salto de tamanho em . Como a série de coeficientes converge, a série de funções converge uniformemente (cada termo tem norma ), logo é não decrescente e contínua nos irracionais (nenhum coincide com ponto de salto), mas em cada racional há salto de tamanho , tornando descontínua em todo racional.
Passo 5
Conclusão e construção final de f.
Tomando g como em
Passo 6
f(x)=integrala^xg(t),dt,
pelo
Resposta
Uma função convexa em [a,b] e não diferenciável em todos os racionais é