1. Determine onde a função f(x)=|x^2-5 x+6| é diferenciável.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=l|x^2-5x+6r|
e pede onde ela é diferenciável. O conteúdo aqui é a análise de diferenciabilidade de uma função valor absoluto de um polinômio. Para resolver, vamos:
  1. achar as raízes do polinômio interno p(x)=x^2-5x+6;
  2. determinar o sinal de p(x) em cada intervalo e escrever f em forma piecewise;
  3. calcular a derivada em cada ramo;
  4. verificar as derivadas laterais nas fronteiras (as raízes) para ver onde a derivada não existe.

Passo 2

Começamos encontrando as raízes de
p(x)=x^2-5x+6
Como x^2-5x+6=(x-2)(x-3), as raízes são x=2 e x=3.

Passo 3

Analisamos o sinal de p(x). Como é uma parábola com coeficiente de x^2 positivo, temos
– para x<2: p(x)>0;
– para 2<x<3: p(x)<0;
– para x>3: p(x)>0.
Logo, escrevemos
f(x)= x^2-5x+6, & x<2, -l(x^2-5x+6r), & 2<x<3, x^2-5x+6, & x>3

Passo 4

Agora calculamos a derivada em cada ramo, lembrando que a derivada de pm p(x) é pm p'(x). Como
p'(x)=2x-5,
temos
– para x<2: f'(x)=2x-5;
– para 2<x<3: f'(x)=-(2x-5)=5-2x;
– para x>3: f'(x)=2x-5.

Passo 5

Verificamos as derivadas laterais em x=2 e em x=3:
– Em x=2:
– derivada à esquerda: limxto2^-f'(x)=2cdot2-5=-1,
– derivada à direita: limxto2^+f'(x)=5-2cdot2=1.
Como -1neq1, não há derivada em x=2.
– Em x=3:
– derivada à esquerda: limxto3^-f'(x)=5-2cdot3=-1,
– derivada à direita: limxto3^+f'(x)=2cdot3-5=1.
Como -1neq1, não há derivada em x=3.
Em todos os outros pontos p(x)neq0, o valor absoluto é suave e f é diferenciável.

Resposta

A função é diferenciável em Rsetminus2,3.

Exercícios relacionados