5.7I Resolva os seguintes problemas de valor inicial (p.v.i.). Nos problemas de segunda ordem use a substituição z=y^prime :
x y^prime+y=2 x ; y(1)=1

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial de primeira ordem
x,y' + y = 2x,
com condição inicial y(1)=1.
O conteúdo aqui é equação diferencial linear de primeira ordem, e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, dividimos toda a equação por x (supondo xneq0) para pôr no formato padrão
y' + 1x,y = 2
O fator integrante é
mu(x) = expl(integral 1x,dxr) = exp(ln|x|) = x

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x)=x, obtemos
x,y' + y = 2x Longrightarrow (x,y)' = 2x
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
integral (x,y)' ,dx = integral 2x ,dx Longrightarrow x,y = x^2 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(1)=1:
1cdot y(1) = 1^2 + C Longrightarrow 1 = 1 + C Longrightarrow C = 0
Logo a solução geral ajustada é
y = x^2 + 0x = x

Resposta

y(x) = x

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