Exercício 16. Para
uma função própria, são equivalentes:
(i)
é convexa e semicontínua inferiormente.
(ii)
para alguma função própria
(iii)
.
(i)
(ii)
(iii)
Passo 1
O enunciado trata de uma função própria
e afirma que as três condições abaixo são equivalentes:
(i) é convexa e semicontínua inferiormente,
(ii) existe função própria tal que
,
(iii) .
O conteúdo aqui é análise convexa e, em especial, o Teorema de Fenchel–Moreau, que liga convexidade, semicontinuidade inferior e biconjugação.
(i)
(ii) existe função própria
(iii)
O conteúdo aqui é análise convexa e, em especial, o Teorema de Fenchel–Moreau, que liga convexidade, semicontinuidade inferior e biconjugação.
Passo 2
Vamos mostrar que (i)
(iii).
Quando é convexa e lsc (semicontínua inferiormente) e própria, o Teorema de Fenchel–Moreau garante
Quando
Em outras palavras, a biconjugada de qualquer função convexa e lsc coincidirá exatamente com ela.
Passo 3
Agora (iii)
(ii).
Suponha . Defina
Suponha
Então o conjugado de
é
ou seja,
para
, mostrando (ii).
Passo 4
Falta (ii)
(i).
Se existe uma função própria tal que
, sabemos que todo conjugado
é automaticamente uma função convexa e semicontínua inferiormente sobre
. Logo
herda essas propriedades, provando (i).
Se existe uma função própria
Resposta
As três condições são equivalentes por aplicação direta do Teorema de Fenchel–Moreau.