Exercício 16. Para f: R^n longrightarrow R cup+infty uma função própria, são equivalentes:
(i) f é convexa e semicontínua inferiormente.
(ii) f=g^* para alguma função própria g: R^n longrightarrow R cup+infty
(iii) f^* *=f.

Passo 1

O enunciado trata de uma função própria
fcolon R^n to Rcup+infty
e afirma que as três condições abaixo são equivalentes:
(i) f é convexa e semicontínua inferiormente,
(ii) existe função própria g tal que f = g^*,
(iii) f^**=f.
O conteúdo aqui é análise convexa e, em especial, o Teorema de Fenchel–Moreau, que liga convexidade, semicontinuidade inferior e biconjugação.

Passo 2

Vamos mostrar que (i) implies(iii).
Quando f é convexa e lsc (semicontínua inferiormente) e própria, o Teorema de Fenchel–Moreau garante
f = f^**
Em outras palavras, a biconjugada de qualquer função convexa e lsc coincidirá exatamente com ela.

Passo 3

Agora (iii) implies(ii).
Suponha f^**=f. Defina
g = f^*
Então o conjugado de g é
g^* = (f^*)^* = f^** = f,
ou seja, f = g^* para g = f^*, mostrando (ii).

Passo 4

Falta (ii) implies(i).
Se existe uma função própria g tal que f = g^*, sabemos que todo conjugado g^* é automaticamente uma função convexa e semicontínua inferiormente sobre R^n. Logo f herda essas propriedades, provando (i).

Resposta

As três condições são equivalentes por aplicação direta do Teorema de Fenchel–Moreau.

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