Questão 4 (2.0 pts) Calcule o trabalho realizado pelo campo
F=(x+e^y^2) i+(x^3+3 x y^2+2 x y e^y^2) j
para deslocar uma partícula ao longo da semicircunferência C:cx^2+y^2=4 y >= 0 do ponto A=(2,0) até o ponto B=(-2,0).

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
W = integralC vec Fcdot dvec r
onde
vec F=(P,Q)=(x+e^y^2,,x^3+3xy^2+2xy,e^y^2)
e C é a semicircunferência x^2+y^2=4, y>=0, indo de A=(2,0) a B=(-2,0).
Para resolver isso, vamos parametrizar C, montar vec Fcdot dvec r, e calcular a integral de linha, separando em parte puramente trigonométrica e parte que envolve o expoente.

Passo 2

Parametrizamos C por
x=2cos t, y=2sin t, tin[0,pi]
Então
dvec r = (dx,dy) = (-2sin t,,2cos t),dt
Substituímos na integral
W = integral0^pi l[P(x,y),dx + Q(x,y),dyr]

Passo 3

Calculamos primeiro P,dx e Q,dy. Com
P=2cos t + e^4sin^2 t, Q=8cos^3t+24cos tsin^2t+8cos tsin t,e^4sin^2t,
e dx=-2sin t,dt, dy=2cos t,dt, obtemos
vec Fcdot dvec r =l(16cos^4t+48cos^2tsin^2t-4cos tsin tr),dt +l(-2sin t+16cos^2tsin tr)e^4sin^2t,dt

Passo 4

Separamos em duas integrais:
  1. a parte trigonométrica
I1=integral0^pil(16cos^4t+48cos^2tsin^2t-4cos tsin tr),dt,
  1. a parte com o expoente
I2=integral0^pil(-2sin t+16cos^2tsin tr)e^4sin^2t,dt

Passo 5

Calculamos I1 usando identidades:
integral0^picos^4t,dt =3pi8, integral0^picos^2tsin^2t,dt=pi8, integral0^picos tsin t,dt=0
Logo
I1 =16cdot3pi8+48cdotpi8-4cdot0 =6pi+6pi =12pi

Passo 6

Para I2, notamos que
ddtl(2cos t,e^4sin^2tr) =-2sin t,e^4sin^2t +16cos^2tsin t,e^4sin^2t,
que é exatamente o integrando de I2. Portanto
I2 =integral0^piddtl(2cos t,e^4sin^2tr),dt =l[2cos t,e^4sin^2tr]0^pi =(-2)-(+2) =-4

Passo 7

Somando as duas partes, o trabalho é
W = I1 + I2 = 12pi + (-4) = 12pi - 4

Resposta

12pi - 4

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