1. Uma partícula se move sobre uma reta vertical de forma que sua coordenada no instante t seja y=t^3-t^2-5 t+6, t >=-2.
    (a) Encontre as funções velocidade e aceleração.
    (b) Encontre a distância percorrida pela partícula no intervalo de tempo 0 <= t <= 3.
    (c) Encontre a velocidade máxima e mínima da partícula, no intervalo [-2,3].

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula ao longo do tempo
y(t)=t^3-t^2-5t+6, t>= -2
e pede:
– (a) velocidade v(t) e aceleração a(t);
– (b) distância total percorrida em 0<= t<=3;
– (c) valor máximo e mínimo de v(t) em [-2,3].
Para resolver isso vamos usar: derivadas para (a), integral da velocidade com valor absoluto para (b) e análise de extremos de v(t) para (c).

Passo 2

(a) A velocidade é a derivada de y(t):
v(t)=y'(t)=ddtl(t^3-t^2-5t+6r)=3t^2-2t-5
A aceleração é a derivada de v(t):
a(t)=v'(t)=ddtl(3t^2-2t-5r)=6t-2

Passo 3

(b) Para a distância percorrida em [0,3] precisamos de
distância=integral0^3l|v(t)r|,dt â
Achamos onde v(t)=0:
3t^2-2t-5=0Longrightarrow t=2pm86=-1,;53
Em [0,3] só interessa t=tfrac53. Testando o sinal de v:
– para 0<= t<tfrac53, v(t)<0;
– para tfrac53<t<=3, v(t)>0.
Logo
integral0^3l|v(t)r|,dt =integral0^5/3-l(3t^2-2t-5r),dt +integral5/3^3l(3t^2-2t-5r),dt

Passo 4

Calculamos o antiderivado
integrall(3t^2-2t-5r),dt =t^3-t^2-5t,
então
integral0^5/3-v(t),dt =-l[t^3-t^2-5tr]0^5/3 =-l(12527-259-253r) =17527,
integral5/3^3v(t),dt =l[t^3-t^2-5tr]5/3^3 =l(27-9-15r) -l(12527-259-253r) =25627
Somando, a distância é
17527+25627=43127

Passo 5

(c) Para extremos de v(t)=3t^2-2t-5 em [-2,3] olhamos em:
– pontos críticos onde v'(t)=0, ou seja 6t-2=0Rightarrow t=tfrac13;
– extremos do intervalo t=-2 e t=3.
Calculamos
v(-2)=3cdot4+4-5=11, vl(tfrac13r)=3cdottfrac19-2cdottfrac13-5=-tfrac163, v(3)=27-6-5=16
Assim, o valor mínimo de v é -tfrac163 em t=tfrac13 e o máximo é 16 em t=3.

Resposta

(a)
v(t)=3t^2-2t-5, a(t)=6t-2
(b) 43127
(c) vmin=-163 (em t=tfrac13), vmax=16 (em t=3).

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