5.7I Resolva os seguintes problemas de valor inicial (p.v.i.). Nos problemas de segunda ordem use a substituição z=y^prime :
y^prime prime+y^prime=2 ; y(0)=1 ; y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + y' = 2, y(0)=1, y'(0)=1
é um EDO de segunda ordem linear com coeficientes constantes. Vamos usar a substituição z=y' para reduzir a ordem.

Passo 2

Com z=y' temos z'=y''. A equação torna-se
z' + z = 2,
com condição inicial z(0)=y'(0)=1. Isso é uma EDO linear de primeira ordem em z.

Passo 3

O fator integrante é mu(x)=e^integral1,dx=e^x. Multiplicando a equação por mu(x):
e^xz' + e^xz = 2e^x Longrightarrow l(e^xzr)' = 2e^x
Integrando em x:
e^xz = 2e^x + C Longrightarrow z(x)=2 + Ce^-x

Passo 4

Aplicando z(0)=1:
1 = 2 + Ccdot e^0Longrightarrow C=-1
Logo
z(x)=2 - e^-x,
ou seja y'(x)=2 - e^-x.

Passo 5

Agora integramos para obter y(x):
y(x)=integrall(2 - e^-xr),dx = 2x + e^-x + D
Usando y(0)=1:
1 = 2cdot0 + e^0 + D = 1 + D Longrightarrow D=0
Portanto
y(x)=2x + e^-x

Resposta

y(x)=2x + e^-x

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