1. Dada a função f(x)=2 sen x+cos 2 x, determine:
    (a) Suas assíntotas, caso existam;
    (b) Seus intervalos de crescimento e decrescimento;
    (c) Seus pontos críticos, caso existam;
    (d) Onde a concavidade fica voltada para cima e onde fica voltada para baixo;
    (e) Seus pontos de inflexão, caso existam.
Depois de tudo, trace o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado apresenta a função
f(x)=2sin x+cos2x
e pede:
(a) assíntotas;
(b) intervalos de crescimento e decrescimento;
(c) pontos críticos;
(d) regiões de concavidade para cima e para baixo;
(e) pontos de inflexão;
além de traçar o gráfico, sabendo que o aluno conhece derivadas e simples manipulações trigonométricas.

Passo 2

Como f é combinação de funções trigonométricas sin x e cos2x, ela é ilimitada e periódica de período 2pi. Logo não há nenhum tipo de assíntota vertical, horizontal ou oblíqua.

Passo 3

Calcular a primeira derivada e seus pontos críticos.
A derivada de
Usando obtemos
Portanto os pontos críticos satisfazem
Isso dá
com (k\in\mathbb{Z}].

Passo 4

Determinar o sinal de f'(x)=2cos x,(1-2sin x) para achar onde cresce ou decresce. Num período típico [0,2pi) os zeros são
pi/6,;pi/2,;5pi/6,;3pi/2
Testando um valor em cada intervalo, conclui-se:
f'(x)>0 (cresce) em
l(0,tfracpi6r),; l(tfracpi2,tfrac5pi6r),; l(tfrac3pi2,2pir)
e, por periodicidade, em tais intervalos somados a 2kpi.
f'(x)<0 (decresce) em
l(tfracpi6,tfracpi2r),; l(tfrac5pi6,tfrac3pi2r)
e repete-se a cada 2pi.

Passo 5

Calcular a segunda derivada e a concavidade.
Derivando f':
f''(x)=-2sin x-4cos2x
Usando cos2x=1-2sin^2 x,
f''(x)=-2sin x-4(1-2sin^2 x) =-2sin x-4+8sin^2 x =8sin^2 x-2sin x-4
Para concavidade para cima exigimos f''(x)>0, isto é
8sin^2 x-2sin x-4>0 Long<=ftrightarrow 4sin^2 x-sin x-2>0
Resolvendo 4u^2-u-2=0 em u=sin x
u=1pmraiz338 approx0.8431ou-0.5931
Logo
– concavidade para cima se sin x<tfrac1-raiz338 (ou seja sin x< -0.5931) ou sin x>tfrac1+raiz338 (isto é sin x>0.8431);
– concavidade para baixo se tfrac1-raiz338<sin x<tfrac1+raiz338.

Passo 6

Os pontos de inflexão ocorrem quando f''(x)=0 e há troca de concavidade, isto é nas soluções de
sin x=1+raiz338 e sin x=1-raiz338,
isto é, para cada kinZ:
x=arcsin!l(1+raiz338r)+2kpi, ; x=pi-arcsin!l(1+raiz338r)+2kpi,
x=arcsin!l(1-raiz338r)+2kpi, ; x=pi-arcsin!l(1-raiz338r)+2kpi

Passo 7

Esboço do gráfico em [0,2pi]:
f(0)=1, cresce até l(tfracpi6,1,5r) (máximo local),
– decresce até l(tfracpi2,1r) (mínimo local),
– cresce até l(tfrac5pi6,1,5r),
– decresce atravessando l(pi,1r) até l(tfrac3pi2,-3r),
– e cresce de tfrac3pi2 a 2pi retornando a f(2pi)=1.
Reproduz-se esse padrão de período 2pi, com amplitude entre -3 e 1,5.

Resposta

(a) Não há assíntotas.
(b) f cresce em
,(2kpi,tfracpi6+2kpi)cup(tfracpi2+2kpi,tfrac5pi6+2kpi)cup(tfrac3pi2+2kpi,2pi+2kpi).
f decresce em
,(tfracpi6+2kpi,tfracpi2+2kpi)cup(tfrac5pi6+2kpi,tfrac3pi2+2kpi).
(c) Pontos críticos:
x=pi6+2kpi,; x=5pi6+2kpi,; x=pi2+kpi
(d) Concavidade para cima se sin x<tfrac1-raiz338 ou sin x>tfrac1+raiz338, e para baixo no intervalo intermediário.
(e) Pontos de inflexão são as soluções de sin x=(1pmraiz33)/8 dadas em Passo 6.
Gráfico: função periódica de período 2pi, com máximos locais iguais a 1,5 em xequivpi/6,5pi/6pmod2pi e mínimos locais variando entre 1 e -3 em xequivpi/2 e xequiv3pi/2pmod2pi.

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