Dada a função , determine:
(a) Suas assíntotas, caso existam;
(b) Seus intervalos de crescimento e decrescimento;
(c) Seus pontos críticos, caso existam;
(d) Onde a concavidade fica voltada para cima e onde fica voltada para baixo;
(e) Seus pontos de inflexão, caso existam.
Depois de tudo, trace o gráfico de .
Passo 1
O enunciado apresenta a função
e pede:
(a) assíntotas;
(b) intervalos de crescimento e decrescimento;
(c) pontos críticos;
(d) regiões de concavidade para cima e para baixo;
(e) pontos de inflexão;
além de traçar o gráfico, sabendo que o aluno conhece derivadas e simples manipulações trigonométricas.
Passo 2
Como é combinação de funções trigonométricas e , ela é ilimitada e periódica de período . Logo não há nenhum tipo de assíntota vertical, horizontal ou oblíqua.
Passo 3
Calcular a primeira derivada e seus pontos críticos.
A derivada de
Usando obtemos
Portanto os pontos críticos satisfazem
Isso dá
com (k\in\mathbb{Z}].
Passo 4
Determinar o sinal de f'(x)=2cos x,(1-2sin x) para achar onde cresce ou decresce. Num período típico [0,2pi) os zeros são
Logo
– concavidade para cima se sin x<tfrac1-raiz338 (ou seja sin x< -0.5931) ou sin x>tfrac1+raiz338 (isto é sin x>0.8431);
– concavidade para baixo se tfrac1-raiz338<sin x<tfrac1+raiz338.
Passo 6
Os pontos de inflexão ocorrem quando f''(x)=0 e há troca de concavidade, isto é nas soluções de
Esboço do gráfico em [0,2pi]:
– f(0)=1, cresce até l(tfracpi6,1,5r) (máximo local),
– decresce até l(tfracpi2,1r) (mínimo local),
– cresce até l(tfrac5pi6,1,5r),
– decresce atravessando l(pi,1r) até l(tfrac3pi2,-3r),
– e cresce de tfrac3pi2 a 2pi retornando a f(2pi)=1.
Reproduz-se esse padrão de período 2pi, com amplitude entre -3 e 1,5.
Resposta
(a) Não há assíntotas.
(b) f cresce em ,(2kpi,tfracpi6+2kpi)cup(tfracpi2+2kpi,tfrac5pi6+2kpi)cup(tfrac3pi2+2kpi,2pi+2kpi). f decresce em ,(tfracpi6+2kpi,tfracpi2+2kpi)cup(tfrac5pi6+2kpi,tfrac3pi2+2kpi).
(c) Pontos críticos:
x=pi6+2kpi,; x=5pi6+2kpi,; x=pi2+kpi
(d) Concavidade para cima se sin x<tfrac1-raiz338 ou sin x>tfrac1+raiz338, e para baixo no intervalo intermediário.
(e) Pontos de inflexão são as soluções de sin x=(1pmraiz33)/8 dadas em Passo 6.
Gráfico: função periódica de período 2pi, com máximos locais iguais a 1,5 em xequivpi/6,5pi/6pmod2pi e mínimos locais variando entre 1 e -3 em xequivpi/2 e xequiv3pi/2pmod2pi.