Exercício 25 (Generalização do anterior). Sejam
aberto e
de classe
tais que, para todo
é sobrejetiva. Prove que a imagem
de
é um subconjunto aberto de
.
Passo 1
O enunciado afirma que temos uma aplicação
de classe
, com
aberto, tal que para todo
o diferencial
é sobrejetivo. Queremos mostrar que a imagem
é um subconjunto aberto de
. O resultado central que vamos usar é o Teorema da Função Inversa na forma de submersão local.
Passo 2
Seja
e defina
. Como
é uma aplicação linear sobrejetiva de
em
, pela álgebra linear existe um operador contínuo à direita
tal que
Passo 3
Definimos a composição
onde
é um pequeno entorno de
contido em
. Pelo cálculo de derivadas,
Passo 4
Como
é de classe
e
é invertível em
, o Teorema da Função Inversa garante que existem entornos abertos
de
e
de
em
tais que
é um difeomorfismo (em particular, é bijetiva e envia abertos em abertos).
Passo 5
Para cada
existe
com
. Isso significa
Como
, vemos que
. Portanto,
, e isso mostra que existe um entorno aberto de
todo contido em
.
Passo 6
Como
(e, portanto,
) era arbitrário, concluímos que em torno de cada ponto de
há um pequeno aberto contido em
. Logo,
é aberto em
.
Resposta
A imagem
é um subconjunto aberto de
.