Exercício 25 (Generalização do anterior). Sejam Omega subseteq R^n aberto e f: Omega longrightarrow R^m de classe C^1 tais que, para todo x in Omega, f^prime(x) in L(R^n ; R^m) é sobrejetiva. Prove que a imagem f(Omega) de f é um subconjunto aberto de R^m.

Passo 1

O enunciado afirma que temos uma aplicação fcolon OmegatoR^m de classe C^1, com OmegasubseteqR^n aberto, tal que para todo xinOmega o diferencial f'(x)inL(R^n;R^m) é sobrejetivo. Queremos mostrar que a imagem f(Omega) é um subconjunto aberto de R^m. O resultado central que vamos usar é o Teorema da Função Inversa na forma de submersão local.

Passo 2

Seja x0inOmega e defina y0=f(x0). Como f'(x0) é uma aplicação linear sobrejetiva de R^n em R^m, pela álgebra linear existe um operador contínuo à direita
Bin L(R^m;R^n)
tal que
f'(x0)circ B = IdR^m

Passo 3

Definimos a composição
varphi colon UsubseteqR^m to R^m, varphi(h) = fl(x0 + B,hr) - y0,
onde U é um pequeno entorno de 0inR^m contido em h: x0 + B hinOmega. Pelo cálculo de derivadas,
varphi'(0) = f'(x0)circ B = IdR^m

Passo 4

Como varphi é de classe C^1 e varphi'(0) é invertível em R^m, o Teorema da Função Inversa garante que existem entornos abertos U1 de 0 e V1 de 0 em R^m tais que
varphicolon U1 to V1
é um difeomorfismo (em particular, é bijetiva e envia abertos em abertos).

Passo 5

Para cada win V1 existe hin U1 com varphi(h)=w. Isso significa
fl(x0 + B,hr) - y0 = w Longrightarrow fl(x0 + B,hr) = y0 + w
Como x0+B,hinOmega, vemos que y0 + win f(Omega). Portanto, y0+V1subseteq f(Omega), e isso mostra que existe um entorno aberto de y0 todo contido em f(Omega).

Passo 6

Como x0inOmega (e, portanto, y0=f(x0)) era arbitrário, concluímos que em torno de cada ponto de f(Omega) há um pequeno aberto contido em f(Omega). Logo, f(Omega) é aberto em R^m.

Resposta

A imagem f(Omega) é um subconjunto aberto de R^m.

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