Exercício 3

(1,5 ponto) a) Dado uma curva alpha:[a, b] R^2, alpha(t)=(x(t), y(t)), definimos sua normal como n(t)=(y^prime(t),-x^prime(t))raizx^prime(t)^2+y^prime(t)^2. Seja C uma curva de Jordan C^1 por partes e f e g duas funções de classe C^2 num aberto que contém a curva e o seu interior. Mostre que ointC f partial gpartial n d s=integral duplaint(C)(f De<a g+nabla f nabla g) d x d y.
(1 ponto) b) Dizemos que u in C^2(Omega) é um autovetor do Laplaciano com autovalor lambda se De<a u=lambda u. Dizemos que este autovetor satisfaz a condição de Dirichlet se u|partial Omega=0. Dizemos que este autovetor satisfaz a condição de Neumann se partialn u|partial Omega=0. Mostre que se Omega é o interior de uma curva de Jordan C^1 por partes, então todo autovetor com condições de Dirichlet ou de Neumann possui autovalor lambda <= 0.

Passo 1

O enunciado pede em (a) provar a identidade de Green
ointC f,partial gpartial n,ds =integral duplaint(C)l(f,De<a g+nabla fcdotnabla gr),dx,dy,
onde C é uma curva de Jordan C^1 por partes, f,gin C^2 num aberto contendo C e seu interior, e partialn g=nabla gcdot n com n a normal exterior.
Em (b) devemos aplicar esse resultado a uma função u que satisfaz De<a u=lambda u com condição de contorno de Dirichlet lur|partialOmega=0 ou de Neumann lpartialn ur|partialOmega=0, mostrando que lambda<=0.
O conteúdo principal é o Teorema da Divergência no plano e interpretação das condições de contorno.

Passo 2

Defina o campo vetorial
F(x,y)=f(x,y),nabla g(x,y)=(,f,gx,;f,gy,)
Como
div,F =partialx(f,gx)+partialy(f,gy) =(partialx f),gx+f,gxx+(partialy f),gy+f,gyy =nabla fcdotnabla g+f,De<a g,
o Teorema da Divergência no plano dá
integral duplaint(C)l(nabla fcdotnabla g+f,De<a gr),dx,dy =ointCFcdot n,ds
Mas Fcdot n=f,(nabla gcdot n)=f,partialn g, de modo que chega-se exatamente a
ointCf,partialn g,ds =integral duplaint(C)l(f,De<a g+nabla fcdotnabla gr),dx,dy

Passo 3

Agora tome em (b) f=g=u onde De<a u=lambda u. Da parte (a) segue
ointCu,partialn u,ds =integral duplaOmegal(u,De<a u+|nabla u|^2r),dx,dy =integral duplaOmegal(lambda u^2+|nabla u|^2r),dx,dy
Se ul|partialOmega=0 (Dirichlet) então u=0 em partialOmega implica u,partialn u=0 na fronteira, logo o lado esquerdo é zero. Se partialn u|partialOmega=0 (Neumann) também o lado esquerdo é zero. Portanto em ambos os casos
0=integralOmegal(lambda u^2+|nabla u|^2r),dx =lambda!integralOmega u^2,dx+integralOmega|nabla u|^2,dx
Como integralOmega u^2>0 e integralOmega|nabla u|^2>=0, só pode acontecer que lambda<=0.

Resposta

a) A identidade de Green
ointCf,partialn g,ds =integral duplaint(C)l(f,De<a g+nabla fcdotnabla gr),dx,dy
vale aplicando o Teorema da Divergência ao campo F=f,nabla g.
b) Para qualquer autovetor u com De<a u=lambda u e condição de Dirichlet ( u=0 na fronteira) ou de Neumann ( partialn u=0 na fronteira), a aplicação da parte (a) a f=g=u leva a
lambda<=0.

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