ponto) a) Dado uma curva , definimos sua normal como . Seja uma curva de Jordan por partes e e duas funções de classe num aberto que contém a curva e o seu interior. Mostre que .
(1 ponto) b) Dizemos que é um autovetor do Laplaciano com autovalor se . Dizemos que este autovetor satisfaz a condição de Dirichlet se . Dizemos que este autovetor satisfaz a condição de Neumann se . Mostre que se é o interior de uma curva de Jordan por partes, então todo autovetor com condições de Dirichlet ou de Neumann possui autovalor .
Passo 1
O enunciado pede em (a) provar a identidade de Green
onde é uma curva de Jordan por partes, num aberto contendo e seu interior, e com a normal exterior.
Em (b) devemos aplicar esse resultado a uma função que satisfaz com condição de contorno de Dirichlet ou de Neumann lpartialn ur|partialOmega=0, mostrando que lambda<=0.
O conteúdo principal é o Teorema da Divergência no plano e interpretação das condições de contorno.
Se ul|partialOmega=0 (Dirichlet) então u=0 em partialOmega implica u,partialn u=0 na fronteira, logo o lado esquerdo é zero. Se partialn u|partialOmega=0 (Neumann) também o lado esquerdo é zero. Portanto em ambos os casos
vale aplicando o Teorema da Divergência ao campo F=f,nabla g.
b) Para qualquer autovetor u com De<a u=lambda u e condição de Dirichlet (u=0 na fronteira) ou de Neumann (partialn u=0 na fronteira), a aplicação da parte (a) a f=g=u leva a lambda<=0.