5.7I Resolva os seguintes problemas de valor inicial (p.v.i.). Nos problemas de segunda ordem use a substituição z=y^prime :
e^-x y^prime+2 e^x y=e^x ; y(0)=1 / 2+1 / e

Passo 1

Temos o p.v.i. de primeira ordem
e^-xy' + 2e^xy = e^x
com a condição inicial
y(0)=tfrac12 + tfrac1e.
O conteúdo é EDO linear de primeira ordem; vamos reescrevê-la em forma padrão e usar fator integrante.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por e^x para obter a forma
y' + 2e^2xy = e^2x

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral 2e^2x,dxr) = expl(e^2xr) = e^e^2x

Passo 4

A solução geral satisfaz
y,mu = integral Q(x),mu(x),dx + C,
onde Q(x)=e^2x. Então
y,e^e^2x = integral e^2x,e^e^2x,dx + C
Fazendo u = e^2x, temos du=2e^2xdx e
integral e^2xe^e^2xdx = tfrac12integral e^udu = tfrac12e^u = tfrac12e^e^2x
Logo
y,e^e^2x = tfrac12e^e^2x + C Longrightarrow y = tfrac12 + C,e^-,e^2x

Passo 5

Usando y(0)=tfrac12 + tfrac1e
y(0)=tfrac12 + C,e^-e^0 = tfrac12 + C,e^-1 = tfrac12 + tfrac1e ;Longrightarrow;C=1

Resposta

y(x) = tfrac12 + e^-,e^2x

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