Consideremos uma base C=(g1, g2) e uma matriz C=(llc11 & c12 c21 & c22) tal que (llg1 & g2)=(lle1 & e2)(llc11 & c12 c21 & c22). Conclua que y1 g1+y2 g2=x1 e1+x2 e2, em que x1=c11 y1+c12 y2 e x2=c21 y1+c22 y2.

Passo 1

O enunciado trabalha com mudança de base em um espaço vetorial de dimensão 2. Temos a base canônica e1,e2 e outra base g1,g2. A relação entre as bases é dada pela matriz de mudança de base
l[g1;g2r] = l[e1;e2r] c11 & c12 c21 & c22
Queremos expressar o mesmo vetor
v = y1,g1 + y2,g2
na base e1,e2 e mostrar que ele fica
v = x1,e1 + x2,e2,
onde x1=c11y1+c12y2 e x2=c21y1+c22y2.

Passo 2

Escrevemos em forma matricial na base . Se considerarmos a matriz linha e o vetor coluna , então

Passo 3

Substituímos a relação de mudança de base
l[g1;g2r] = l[e1;e2r] c11 & c12 c21 & c22
no produto da etapa anterior:
v = l[e1;e2r] c11 & c12 c21 & c22 y1 y2

Passo 4

Usando a associatividade de multiplicação de matrizes, agrupamos
c11 & c12 c21 & c22 y1 y2 = x1 x2 ,
onde explicitamente
x1=c11y1+c12y2, x2=c21y1+c22y2

Passo 5

Concluímos então
v = l[e1;e2r] x1 x2 = x1,e1+x2,e2,
que é exatamente a forma desejada.

Resposta

y1,g1 + y2,g2 = x1,e1 + x2,e2,
com
x1=c11y1+c12y2, x2=c21y1+c22y2

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