1. (a) Calcule y^prime sabendo que arcsec(x+y)=x^2-y.
    (b) Uma maneira de definir arcsec(x) é dizer que y=arcsec(x) Leftrightarrow sec (y)=x e 0 <= y <= pi2 ou pi <= y <= 3 pi2. Mostre que, se essa definição for adotada, então
dd x[arcsec(x)]=1x raizx^2-1

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na (a) precisamos achar y' a partir da igualdade implícita
arcsec(x+y)=x^2-y
Usaremos a regra da cadeia e a fórmula de derivada de arcsec(u). Na (b) definimos y=arcsec(x), isto é sec(y)=x em 0<= y<=pi2 ou pi<= y<=3pi2. Vamos diferenciar implicitamente sec(y)=x e usar identidades trigonométricas para mostrar
ddx[arcsec(x)] =1xraizx^2-1

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de
arcsec(x+y)=x^2-y
em relação a x, temos, pela regra da cadeia e pela fórmula
ddu[arcsec(u)] =1|u|raizu^2-1,
com u=x+y:
1l|x+yr|raiz(x+y)^2-1,(1+y') =2x - y'

Passo 3

Agora resolvemos para y'. Primeiro multiplicamos pelo denominador:
1 + y' =l|x+yr|raiz(x+y)^2-1,l(2x - y'r)
Distribuindo e recolhendo termos em y':
1 + y' =2x,l|x+yr|raiz(x+y)^2-1 - y',l|x+yr|raiz(x+y)^2-1,
y'l[1 + l|x+yr|raiz(x+y)^2-1r] =2x,l|x+yr|raiz(x+y)^2-1-1,
y' =2x,l|x+yr|raiz(x+y)^2-1-1 1 + l|x+yr|raiz(x+y)^2-1

Passo 4

Para a parte (b) começamos com
sec(y)=x,
onde y=arcsec(x). Diferenciando:
sec(y)tan(y),y' = 1 Longrightarrow y' = 1sec(y)tan(y)

Passo 5

Usamos sec(y)=x e a identidade tan^2(y)=sec^2(y)-1. Como em nossos ramos de definição tan(y)>=0, temos tan(y)=raizx^2-1. Logo
y' =1x;raizx^2-1
e isso mostra
ddx[arcsec(x)] =1xraizx^2-1

Resposta

(a) y' =2x,l|x+yr|raiz(x+y)^2-1-1 1 + l|x+yr|raiz(x+y)^2-1
(b) ddx[arcsec(x)] =1xraizx^2-1

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