5.7I Resolva os seguintes problemas de valor inicial (p.v.i.). Nos problemas de segunda ordem use a substituição
:
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
com a condição
. Percebemos que é uma equação diferencial de primeira ordem na forma
com
e
. Vamos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial cuja constante de nível satisfaça a condição inicial.
Passo 2
Verificamos a exatidão calculando as parciais
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Buscamos uma função
tal que
Integrando em relação a
,
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
. Em seguida, impomos
o que implica
e, portanto,
.
Passo 4
A solução geral fica então
Usamos a condição inicial
:
Logo a condição particular é
Resolvendo para
,
Como
, escolhemos o ramo positivo da raiz.