5.7I Resolva os seguintes problemas de valor inicial (p.v.i.). Nos problemas de segunda ordem use a substituição z=y^prime :
(x^2+y^2) d x+2 x y d y=0 ; y(1)=1

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
(x^2+y^2),dx + 2xy,dy = 0,
com a condição y(1)=1. Percebemos que é uma equação diferencial de primeira ordem na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy=0
com M(x,y)=x^2+y^2 e N(x,y)=2xy. Vamos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial cuja constante de nível satisfaça a condição inicial.

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando as parciais
partial Mpartial y=2y, partial Npartial x=2y
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos uma função F(x,y) tal que
partial Fpartial x=M(x,y)=x^2+y^2
Integrando em relação a x,
F(x,y)=integral (x^2+y^2),dx = x^33 + x,y^2 + g(y),
onde g(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y. Em seguida, impomos
partial Fpartial y=2xy + g'(y) stackrel!=N(x,y)=2xy,
o que implica g'(y)=0 e, portanto, g(y)=constante.

Passo 4

A solução geral fica então
F(x,y)=x^33 + x,y^2 = C
Usamos a condição inicial y(1)=1:
1^33 + 1cdot1^2 = 13+1 = 43 = C
Logo a condição particular é
x^33 + x,y^2 = 43
Resolvendo para y^2,
x,y^2 = 43 - x^33 ;Longrightarrow; y^2 = 4 - x^33x
Como y(1)=1>0, escolhemos o ramo positivo da raiz.

Resposta

y(x) = raiz4 - x^33x

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