Exercício 22. Discuta a aplicação do Teorema da Função Inversa para a aplicação
f(x, y)=(x^2-y^2, 2 x y)

Passo 1

O enunciado define a aplicação
fcolon R^2to R^2, f(x,y)=(x^2-y^2,;2xy)
e pede para discutir a aplicação do Teorema da Função Inversa. Vamos precisar calcular a matriz Jacobiana de f e seu determinante para ver em que pontos o teorema garante inversa local.

Passo 2

Calculamos a matriz Jacobiana Df(x,y):
Df(x,y) = partialx(x^2-y^2)&partialy(x^2-y^2) partialx(2xy)&partialy(2xy) = 2x&-2y 2y&2x

Passo 3

O determinante dessa matriz é
det Df(x,y) =(2x)(2x)-(-2y)(2y) =4x^2+4y^2 =4(x^2+y^2)
Logo det Df(x,y)neq0 se e só se (x,y)neq(0,0).

Passo 4

Pelo Teorema da Função Inversa, em qualquer ponto (x0,y0) com (x0,y0)neq(0,0) existe uma vizinhança U de (x0,y0) tal que
fl|Ucolon Uto f(U)
é difeomorfismo (inversa local suave). No ponto (0,0) temos det Df(0,0)=0, de modo que o teorema não garante inversibilidade local ali.

Passo 5

Apesar de f ser localmente invertível em todo ponto não nulo, ela não é globalmente injetora em R^2, pois
f(x,y)=f(-x,-y)forall,(x,y)
Para obter uma inversa global unívoca basta restringir o domínio a uma região sem identificar (x,y) e (-x,-y) — por exemplo, escolher um semiplano angular (como y>0) e fixar continuamente a ramificação do argumento.

Resposta

O determinante da Jacobiana é det Df(x,y)=4(x^2+y^2), que só se anula em (0,0). Assim, pelo Teorema da Função Inversa, f é localmente difeomorfa em todo ponto exceto a origem. No ponto (0,0) a condição do teorema falha. Globalmente, f não é injetora (pois f(x,y)=f(-x,-y)), mas torna-se invertível ao restringir o domínio a uma região que impeça essa identificação de pontos opostos.

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