Deseja-se construir uma piscina na forma de um paralelepípedo reto com base quadrada com volume de
. Se o lado da base mede
metros e a altura mede
metros, o custo do material é 6 vezes a área da piscina (área lateral mais a área da base). O custo da escavação é
.
a. (0,5pt) Descreva a função custo total
(material + escavação).
b. (0,5pt) Escreva
em função de
e escreva o custo total apenas em função de
.
c. (
) Ache o valor exato de
em que o custo total é mínimo. Justifique.
a. (0,5pt) Descreva a função custo total
b. (0,5pt) Escreva
c. (
Passo 1
O enunciado pede para modelar e otimizar o custo de construir uma piscina em forma de paralelepípedo com base quadrada de volume fixo
. Vamos usar:
– Fórmula do volume de paralelepípedo com base quadrada: .
– Cálculo de áreas: área da base e área lateral
.
– Otimização de função de duas variáveis com restrição de volume.
– Fórmula do volume de paralelepípedo com base quadrada:
– Cálculo de áreas: área da base
– Otimização de função de duas variáveis com restrição de volume.
Passo 2
Montamos a função custo total
somando o custo do material (
vezes a área da base e das faces laterais) ao custo de escavação:
Passo 3
Usamos a restrição de volume para eliminar
. Como
substituímos em
:
Passo 4
Para achar o mínimo, calculamos
e igualamos a zero:
Como
em
, temos mínimo em
.
Resposta
a)
.
b) e
.
c) O custo é mínimo em .
b)
c) O custo é mínimo em