Deseja-se construir uma piscina na forma de um paralelepípedo reto com base quadrada com volume de 20 m^3. Se o lado da base mede x metros e a altura mede y metros, o custo do material é 6 vezes a área da piscina (área lateral mais a área da base). O custo da escavação é 9 x y.
a. (0,5pt) Descreva a função custo total C(x, y) (material + escavação).
b. (0,5pt) Escreva y em função de x e escreva o custo total apenas em função de x.
c. ( 0,5 pt ) Ache o valor exato de x em que o custo total é mínimo. Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para modelar e otimizar o custo de construir uma piscina em forma de paralelepípedo com base quadrada de volume fixo V=20 m^3. Vamos usar:
– Fórmula do volume de paralelepípedo com base quadrada: V=x^2y.
– Cálculo de áreas: área da base x^2 e área lateral 4xy.
– Otimização de função de duas variáveis com restrição de volume.

Passo 2

Montamos a função custo total C(x,y) somando o custo do material ( 6 vezes a área da base e das faces laterais) ao custo de escavação:
C(x,y) =6l(x^2+4xyr)+9xy =6x^2+24xy+9xy =6x^2+33xy

Passo 3

Usamos a restrição de volume para eliminar y. Como
x^2y=20 Longrightarrow y=20x^2,
substituímos em C(x,y):
C(x) =6x^2+33xcdot20x^2 =6x^2+660x

Passo 4

Para achar o mínimo, calculamos C'(x) e igualamos a zero:
C'(x) =ddxl(6x^2+660xr) =12x-660x^2 Longrightarrow 12x-660x^2=0
12x^3=660 Longrightarrow x^3=55 Longrightarrow x=raiz[3]55
Como C''(x)=12+1320x^3>0 em x>0, temos mínimo em x=raiz[3]55.

Resposta

a) C(x,y)=6l(x^2+4xyr)+9xy.
b) y=20x^2 e C(x)=6x^2+660x.
c) O custo é mínimo em x=raiz[3]55.

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