Calcule lim x 2[2ln (x-1)-2x-2].

Passo 1

O enunciado pede
limxto2l[2ln(x-1)-2x-2r]
Quando xto2, vemos que ln(x-1)toln1=0 e x-2to0, ou seja, cada termo diverge e temos a forma “ infty-infty”. Para resolver, vamos combinar as frações e usar a expansão em série (Taylor) de ln(1+t) para pequenas variações em torno de x=2.

Passo 2

Colocamos tudo em uma única fração:
2ln(x-1)-2x-2 =2,x-2-ln(x-1)(x-2),ln(x-1)

Passo 3

Fazemos a substituição
t = x-2, tto0
Então
ln(x-1)=ln(1+t)=t-tfract^22+O(t^3)
Isso dá
x-2-ln(x-1) =t-l(t-tfract^22+O(t^3)r) =tfract^22+O(t^3),
(x-2),ln(x-1) =tl(t-tfract^22+O(t^3)r) =t^2+O(t^3)

Passo 4

Portanto, dentro da fração principal,
x-2-ln(x-1)(x-2),ln(x-1) =tfract^22+O(t^3)t^2+O(t^3) longrightarrowtfrac12
Multiplicando por 2, obtemos o valor do limite.

Resposta

1

Exercícios relacionados