5.7I Resolva os seguintes problemas de valor inicial (p.v.i.). Nos problemas de segunda ordem use a substituição z=y^prime :
y d x-x d yx^2+y^2=0 ; y(2)=2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y,dx - x,dyx^2+y^2 = 0
com condição inicial y(2)=2. Vamos reconhecer que podemos isolar dydx e obter uma equação separável.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por x^2+y^2 ficamos com
y,dx - x,dy = 0

Passo 3

Reescrevendo em termos de derivada,
y,dx - x,dy = 0 Longrightarrow y - xdydx = 0 Longrightarrow dydx = yx

Passo 4

A equação dydx=yx é separável. Escrevemos
dyy = dxx

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral dyy = integral dxx Longrightarrow ln|y| = ln|x| + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Exponentiando, obtemos
|y| = e^C,|x| = K,|x|,
com K=e^C. Absorvemos sinal em K e escrevemos a solução geral
y = Kx

Passo 7

Aplicando a condição inicial y(2)=2:
2 = Kcdot 2 Longrightarrow K = 1
Logo a solução particular é
y = x

Resposta

y = x

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