Exercício 27. Sejam
um aberto e
de classe
. Seja
e
. Suponhamos que
. Mostre que localmente é possível usar a equação
para obter
. Mais precisamente, existem intervalos abertos
e
, com
e
e existe
de classe
tal que
e
, para todo
. Prove ainda que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando que
é
e
, que localmente a equação
pode ser resolvida para
como função de
. O conteúdo principal é o Teorema da Função Implícita, que garante existência e unicidade de
tal que
.
Passo 2
Definimos a função auxiliar
de classe
em
. Note que
Portanto, no ponto
, a derivada parcial em
de
é não nula.
Passo 3
Pelo Teorema da Função Implícita, existem abertos
,
e
, com
,
,
, e uma função
de classe
, tal que
Como
, isto equivale a
Passo 4
Ficou estabelecido que
e que
Logo
dá exatamente a solução local em
da equação
.
Passo 5
Para mostrar que
, usamos a unicidade garantida pelo Teorema da Função Implícita. Se
então
e pela condição
Mas, para cada par
fixado, a solução
de
é única em
. Como
é essa solução, segue-se que
Resposta
Existem abertos
contendo
e uma função
tal que