Exercício 27. Sejam Omega subseteq R^2 um aberto e u: Omega longrightarrow R de classe C^1. Seja (a, b) in Omega e c=u(a, b). Suponhamos que ux(a, b) neq 0. Mostre que localmente é possível usar a equação u=u(x, y) para obter x=x(u, y). Mais precisamente, existem intervalos abertos U, V e W, com a in U, b in V e c in W e existe varphi: W times V longrightarrow U de classe C^1 tal que varphi(c, b)=a e u(varphi(z, y), y)=z, para todo (z, y) in W times V. Prove ainda que varphi(u(x, y), y)=x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando que u:OmegasubseteqR^2toR é C^1 e partialx u(a,b)neq0, que localmente a equação
u(x,y)=z
pode ser resolvida para x como função de (z,y). O conteúdo principal é o Teorema da Função Implícita, que garante existência e unicidade de varphi(z,y) tal que u(varphi(z,y),y)=z.

Passo 2

Definimos a função auxiliar
F(x,y,z)=u(x,y)-z,
de classe C^1 em OmegatimesR. Note que
partial Fpartial x(a,b,c) =partial upartial x(a,b)neq0
Portanto, no ponto (a,b,c), a derivada parcial em x de F é não nula.

Passo 3

Pelo Teorema da Função Implícita, existem abertos UsubsetR, VsubsetR e WsubsetR, com ain U, bin V, cin W, e uma função
varphi:Wtimes V;longrightarrow;U,
de classe C^1, tal que
Fl(varphi(z,y),,y,,zr)=0 e varphi(c,b)=a
Como F(x,y,z)=u(x,y)-z, isto equivale a
ul(varphi(z,y),,yr)=z para todo;(z,y)in Wtimes V

Passo 4

Ficou estabelecido que varphi(c,b)=a e que
ul(varphi(z,y),yr)=z forall,(z,y)in Wtimes V
Logo varphi dá exatamente a solução local em x da equação u(x,y)=z.

Passo 5

Para mostrar que varphi(u(x,y),y)=x, usamos a unicidade garantida pelo Teorema da Função Implícita. Se (x,y)in Utimes V então u(x,y)in W e pela condição
ul(varphi(u(x,y),y),,yr) =u(x,y)
Mas, para cada par l(z,yr) fixado, a solução x de u(x,y)=z é única em U. Como varphi(z,y) é essa solução, segue-se que
varphil(u(x,y),yr)=x

Resposta

Existem abertos U,V,W contendo a,b,c e uma função C^1 varphi:Wtimes Vto U tal que
varphi(c,b)=a, ul(varphi(z,y),yr)=z e varphil(u(x,y),yr)=x

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