- Dada a função
, determine:
(a) Suas assíntotas, caso existam.
(b) Seus intervalos de crescimento e decrescimento.
(c) Seus pontos críticos.
(d) Onde a concavidade fica para cima e onde fica para baixo.
(e) Seus pontos de inflexão, caso existam.
São dados:
(a) Suas assíntotas, caso existam.
(b) Seus intervalos de crescimento e decrescimento.
(c) Seus pontos críticos.
(d) Onde a concavidade fica para cima e onde fica para baixo.
(e) Seus pontos de inflexão, caso existam.
Passo 1
O enunciado apresenta a função
com domínio
, e fornece
Pede-se (a) assíntotas, (b) intervalos de crescimento/decr., (c) pontos críticos, (d) concavidade, (e) pontos de inflexão. Usaremos divisão polinomial para assíntotas e análise de sinal de
e
.
Passo 2
Para achar assíntotas empíricas, dividimos polinômio:
Quando
, o termo
, logo há assíntota oblíqua
Como o denominador zera em
e
, há assíntota vertical
Passo 3
Para monotonicidade, note que
sempre, então o sinal de
vem de
e
.
– Se , então
e
, de modo que
. Portanto
cresce em
.
– Se , então
e
, logo
. Portanto
decresce em
.
– Se , então
e
, logo
. Portanto
cresce em
.
– Se
– Se
– Se
Passo 4
Pontos críticos são onde
ou
não existe, mas dentro do domínio. De
vem
. Em
é indeterminada, mas
não pertence ao domínio. Assim o único ponto crítico é
Passo 5
Para concavidade, observe
Logo
é côncava para cima em todo o domínio e não há trechos côncavos para baixo.
Passo 6
Como a concavidade não muda de sinal (sempre positiva), não há ponto de inflexão.
Resposta
(a) Assíntota vertical:
. Assíntota oblíqua:
.
(b) Cresce em e em
; decresce em
.
(c) Ponto crítico: .
(d) Concavidade para cima em todo o domínio ; não há concavidade para baixo.
(e) Não há pontos de inflexão.
(b) Cresce em
(c) Ponto crítico:
(d) Concavidade para cima em todo o domínio
(e) Não há pontos de inflexão.