1. Dada a função f(x)=x^3-x^2-x+5(x-1)^2, determine:
    (a) Suas assíntotas, caso existam.
    (b) Seus intervalos de crescimento e decrescimento.
    (c) Seus pontos críticos.
    (d) Onde a concavidade fica para cima e onde fica para baixo.
    (e) Seus pontos de inflexão, caso existam.
São dados:
f^prime(x)=(x-3)(x^2+3)(x-1)^3 e f^prime prime(x)=24(x-1)^4

Passo 1

O enunciado apresenta a função
f(x)=x^3-x^2-x+5(x-1)^2
com domínio xneq1, e fornece
f'(x)=(x-3)(x^2+3)(x-1)^3, f''(x)=24(x-1)^4
Pede-se (a) assíntotas, (b) intervalos de crescimento/decr., (c) pontos críticos, (d) concavidade, (e) pontos de inflexão. Usaremos divisão polinomial para assíntotas e análise de sinal de f' e f''.

Passo 2

Para achar assíntotas empíricas, dividimos polinômio:
x^3-x^2-x+5(x-1)^2 = x+1 + 4(x-1)^2
Quando xtopminfty, o termo 4/(x-1)^2to0, logo há assíntota oblíqua
y = x+1
Como o denominador zera em x=1 e limxto1f(x)=+infty, há assíntota vertical
x = 1

Passo 3

Para monotonicidade, note que x^2+3>0 sempre, então o sinal de
f'(x)=x-3(x-1)^3
vem de (x-3) e (x-1)^3.
– Se x<1, então x-3<0 e (x-1)^3<0, de modo que f'>0. Portanto f cresce em (-infty,1).
– Se 1<x<3, então x-3<0 e (x-1)^3>0, logo f'<0. Portanto f decresce em (1,3).
– Se x>3, então x-3>0 e (x-1)^3>0, logo f'>0. Portanto f cresce em (3,infty).

Passo 4

Pontos críticos são onde f'=0 ou f' não existe, mas dentro do domínio. De f'(x)=0 vem x=3. Em x=1 f' é indeterminada, mas x=1 não pertence ao domínio. Assim o único ponto crítico é
x=3

Passo 5

Para concavidade, observe
f''(x)=24(x-1)^4>0forall xneq1
Logo f é côncava para cima em todo o domínio e não há trechos côncavos para baixo.

Passo 6

Como a concavidade não muda de sinal (sempre positiva), não há ponto de inflexão.

Resposta

(a) Assíntota vertical: x=1. Assíntota oblíqua: y = x+1.
(b) Cresce em (-infty,1) e em (3,infty); decresce em (1,3).
(c) Ponto crítico: x=3.
(d) Concavidade para cima em todo o domínio (-infty,1)cup(1,infty); não há concavidade para baixo.
(e) Não há pontos de inflexão.

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