Mostre que
é diferenciável e que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que uma aplicação bilinear contínua
é diferenciável em qualquer ponto e que sua diferencial é
é diferenciável em qualquer ponto
Vamos usar a definição de diferenciabilidade em espaços normados e explorar a bilinearidade de
.
Passo 2
Recordando a definição,
é diferenciável em
se existe uma aplicação linear contínua
tal que, ao definir o erro
tal que, ao definir o erro
temos
Passo 3
Pelo caráter bilinear de
, para todo
vale
Assim, se sugerimos
então
Note que
é claramente linear e contínua por ser soma de aplicações bilineares fixando um dos argumentos.
Passo 4
Como
é bilinear contínua, existe constante
tal que
Além disso, na norma produto
temos
Logo
que tende a zero quando
. Portanto
é diferenciável em
com diferencial
.