Mostre que B é diferenciável e que
d B(a, b)(u, v)=B(a, v)+B(u, b)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma aplicação bilinear contínua
Bcolon Etimes Fto G
é diferenciável em qualquer ponto (a,b)in Etimes F e que sua diferencial é
dB(a,b)(u,v)=B(a,v)+B(u,b)
Vamos usar a definição de diferenciabilidade em espaços normados e explorar a bilinearidade de B.

Passo 2

Recordando a definição, B é diferenciável em (a,b) se existe uma aplicação linear contínua
Lcolon Etimes Fto G
tal que, ao definir o erro
R(u,v)=B(a+u,b+v)-B(a,b)-L(u,v),
temos
lim(u,v)to(0,0)|R(u,v)|G|(u,v)|Etimes F=0

Passo 3

Pelo caráter bilinear de B, para todo (u,v) vale
B(a+u,b+v) =B(a,b)+B(a,v)+B(u,b)+B(u,v)
Assim, se sugerimos
L(u,v)=B(a,v)+B(u,b),
então
R(u,v)=B(a+u,b+v)-B(a,b)-L(u,v)=B(u,v)
Note que L é claramente linear e contínua por ser soma de aplicações bilineares fixando um dos argumentos.

Passo 4

Como B é bilinear contínua, existe constante C>0 tal que
|B(u,v)|G<= C,|u|E,|v|Fforall,u,v
Além disso, na norma produto |(u,v)|Etimes F=|u|E+|v|F temos
|u|E,|v|F <= l(|u|E+|v|Fr)^2 =|(u,v)|Etimes F^2
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|R(u,v)|G|(u,v)|Etimes F =|B(u,v)|G|(u,v)|Etimes F <= C,|(u,v)|Etimes F^2|(u,v)|Etimes F =C,|(u,v)|Etimes F,
que tende a zero quando (u,v)to(0,0). Portanto B é diferenciável em (a,b) com diferencial L.

Resposta

dB(a,b)(u,v)=B(a,v)+B(u,b)

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