3.7I Um sólido esférico de raio a tem densidade em cada ponto proporcional à distância do ponto a uma reta fixa L que passa pelo seu centro. Calcule a massa do sólido.

Passo 1

O enunciado descreve um sólido esférico de raio a cuja densidade em cada ponto é proporcional à distância desse ponto a uma reta fixa L que passa pelo centro da esfera. O conteúdo principal aqui é o uso de integrais triplas em coordenadas cilíndricas para calcular a massa de um corpo com densidade variável.

Passo 2

Para simplificar, escolhemos como reta L o eixo z. Assim, a distância de um ponto (x,y,z) ao eixo z é raizx^2+y^2. Sejam k a constante de proporcionalidade e
rho(x,y,z)=k,raizx^2+y^2
a função densidade.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z) temos
x=rcostheta, y=rsintheta, dV=r,dr,dtheta,dz
A esfera de raio a corresponde a
0<=theta<=2pi, -a<= z<= a, 0<= r<=raiza^2-z^2
Logo a massa é
M=integral triplaVrho,dV =integral0^2pi!integral-a^a!integral0^raiza^2-z^2 k,r;l(r,dr,dz,dthetar)

Passo 4

No integrando k,rcdot r = k,r^2. Integramos primeiro em r:
integral0^raiza^2-z^2r^2,dr =l(raiza^2-z^2r)^33 =(a^2-z^2)^3/23
Assim
M =integral0^2pidtheta;integral-a^a k,(a^2-z^2)^3/23,dz =2pi k3integral-a^a(a^2-z^2)^3/2,dz

Passo 5

Para calcular integral-a^a(a^2-z^2)^3/2dz usamos a substituição z=asin t, dz=acos t,dt, obtendo
integral-a^a(a^2-z^2)^3/2dz =2integral0^a(a^2-z^2)^3/2dz =2,a^4!integral0^pi/2cos^4t,dt =2,a^4cdot3pi16 =3pi a^48

Passo 6

Substituindo no valor de M:
M =2pi k3cdot3pi a^48 =pi^2,k,a^44

Resposta

M=pi^24,k,a^4,
onde k é a constante de proporcionalidade da densidade.

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