3.7I Um sólido esférico de raio
tem densidade em cada ponto proporcional à distância do ponto a uma reta fixa
que passa pelo seu centro. Calcule a massa do sólido.
Passo 1
O enunciado descreve um sólido esférico de raio
cuja densidade em cada ponto é proporcional à distância desse ponto a uma reta fixa
que passa pelo centro da esfera. O conteúdo principal aqui é o uso de integrais triplas em coordenadas cilíndricas para calcular a massa de um corpo com densidade variável.
Passo 2
Para simplificar, escolhemos como reta
o eixo
. Assim, a distância de um ponto
ao eixo
é
. Sejam
a constante de proporcionalidade e
a função densidade.
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas
temos
A esfera de raio
corresponde a
Logo a massa é
Passo 4
No integrando
. Integramos primeiro em
:
Assim
Passo 5
Para calcular
usamos a substituição
,
, obtendo
Passo 6
Substituindo no valor de
:
Resposta
onde
é a constante de proporcionalidade da densidade.