3.7H Um sólido tem a forma da região interna ao cilindro
, interior à esfera
e acima do plano
. A densidade em um ponto
do sólido é proporcional à sua distância ao plano
. Calcule a massa e o momento de inércia
do sólido.
Passo 1
O enunciado descreve um sólido dado em coordenadas cilíndricas por
isto é, a região interna ao cilindro
, abaixo da esfera
e acima do plano
. A densidade em cada ponto é
, onde
é constante. Vamos usar tripla integral em coordenadas cilíndricas para calcular a massa
e o momento de inércia
.
Passo 2
O volume elemento em cilíndricas é
. Assim, a massa é
Passo 3
Primeiro integramos em
:
Logo
Calculando a integral em
:
então
Passo 4
O momento de inércia em torno do eixo
é
Fazendo o integral em
como antes e fatorando
:
Agora
logo
Passo 5
Se quisermos expressar
em função da massa
, notamos que
Substituindo em
dá
Resposta
ou, em termos de