3.7H Um sólido tem a forma da região interna ao cilindro r=a, interior à esfera r^2+z^2=4 a^2 e acima do plano x y. A densidade em um ponto P do sólido é proporcional à sua distância ao plano x y. Calcule a massa e o momento de inércia Iz do sólido.

Passo 1

O enunciado descreve um sólido dado em coordenadas cilíndricas por
0 <= theta <= 2pi, 0 <= r <= a, 0 <= z <= raiz4a^2 - r^2,
isto é, a região interna ao cilindro r=a, abaixo da esfera r^2+z^2=4a^2 e acima do plano xy. A densidade em cada ponto é rho=k,z, onde k é constante. Vamos usar tripla integral em coordenadas cilíndricas para calcular a massa M e o momento de inércia Iz.

Passo 2

O volume elemento em cilíndricas é dV = r,dr,dtheta,dz. Assim, a massa é
M=integral tripla rho,dV =integral0^2pi!!integral0^a!!integral0^raiz4a^2 - r^2 k,z;r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Primeiro integramos em z:
integral0^raiz4a^2 - r^2 z,dz =12l(4a^2 - r^2r)
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M =2pi kintegral0^ar;12l(4a^2 - r^2r),dr =pi kintegral0^al(4a^2r - r^3r),dr
Calculando a integral em r:
integral0^a4a^2r,dr=2a^4, integral0^ar^3,dr=a^44,
então
M=pi kl(2a^4 - tfraca^44r) =74,pi k,a^4

Passo 4

O momento de inércia em torno do eixo z é
Iz=integral tripla rho,r^2,dV =integral0^2pi!!integral0^a!!integral0^raiz4a^2 - r^2 k,z;r^2;(r,dz,dr,dtheta)
Fazendo o integral em z como antes e fatorando 2pi k:
Iz =2pi kintegral0^ar^3;12l(4a^2 - r^2r),dr =pi kintegral0^al(4a^2r^3 - r^5r),dr
Agora
integral0^a4a^2r^3,dr = a^6, integral0^ar^5,dr = a^66,
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Iz =pi kl(a^6 - tfraca^66r) =56,pi k,a^6

Passo 5

Se quisermos expressar Iz em função da massa M, notamos que
M=74pi k a^4 ;Longrightarrow; k=4M7pi a^4
Substituindo em Iz=tfrac56pi k a^6
Iz=56,pi,4M7pi a^4,a^6 =1021,M,a^2

Resposta

M=dfrac74,pi,k,a^4,
Iz=dfrac56,pi,k,a^6
ou, em termos de M,
Iz=1021,M,a^2

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