3.7J Calcule o volume e o centróide do sólido delimitado acima pela esfera
e abaixo pelo cone
.
Passo 1
O sólido é a parte da esfera de raio
situada acima do cone de semi-ângulo
. Em coordenadas esféricas
temos
– superfície externa: ,
– superfície inferior: ,
– Jacobiano: .
Vamos usar o integral triplo em esféricas para volume e, em seguida, calcular o centróide pelo momento em .
– superfície externa:
– superfície inferior:
– Jacobiano:
Vamos usar o integral triplo em esféricas para volume e, em seguida, calcular o centróide pelo momento em
Passo 2
Montamos o integral para o volume:
Calculando cada parte,
logo
Passo 3
Pela simetria de rotação em torno do eixo
, os momentos em
e
se anulam, ou seja
Passo 4
Para
usamos
Separamos os fatores:
Assim o momento em
é
Dividindo pelo volume
e usando
, obtemos
Resposta
Volume:
Centroide: