3.7J Calcule o volume e o centróide do sólido delimitado acima pela esfera rho=a e abaixo pelo cone varphi=beta, 0<beta<pi / 2.

Passo 1

O sólido é a parte da esfera de raio a situada acima do cone de semi-ângulo beta. Em coordenadas esféricas (rho,varphi,theta) temos
– superfície externa: rho=a,
– superfície inferior: varphi=beta,
– Jacobiano: dV=rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta.
Vamos usar o integral triplo em esféricas para volume e, em seguida, calcular o centróide pelo momento em z.

Passo 2

Montamos o integral para o volume:
V=integral0^2pi!integral0^beta!integral0^arho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta =2pil[integral0^betasinvarphi,dvarphir]l[integral0^arho^2,drhor]
Calculando cada parte,
integral0^betasinvarphi,dvarphi=1-cosbeta, integral0^arho^2,drho=a^33,
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V=2pi a^33,(1-cosbeta)

Passo 3

Pela simetria de rotação em torno do eixo z, os momentos em x e y se anulam, ou seja
bar x=bar y=0

Passo 4

Para bar z usamos
bar z=1VintegralV z,dV =1Vintegral0^2pi!integral0^beta!integral0^a(rhocosvarphi),rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta
Separamos os fatores:
integral0^2pidtheta=2pi, integral0^betacosvarphi,sinvarphi,dvarphi=sin^2beta2, integral0^arho^3,drho=a^44
Assim o momento em z é
integralV z,dV =2picdotsin^2beta2cdota^44 =pi a^4sin^2beta4
Dividindo pelo volume V=tfrac2pi a^33(1-cosbeta) e usando sin^2beta/(1-cosbeta)=1+cosbeta, obtemos
bar z=3a,(1+cosbeta)8

Resposta

Volume:
V=2pi a^33,(1-cosbeta)
Centroide:
(bar x,bar y,bar z)=l(0,,0,,3a,(1+cosbeta)8r)

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