• (7pts) Se existir calcule. Caso não existir, justifique.
lim (x, y) (0,0) 2 x^2+4 y^23 x^2+5 y^2

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente analisar
lim(x,y)to(0,0) 2x^2+4y^23x^2+5y^2
Isso é um limite de função de duas variáveis. Para resolver, a gente vai usar o conceito de limite em R^2 e testar caminhos de aproximação (ou coordenadas polares).

Passo 2

Antes de meter a mão na massa, vale lembrar:
  • Em uma função de duas variáveis, lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=L só existe se, para TODO jeito de chegar em (0,0), o valor de f(x,y) tender a L.
  • Se eu achar dois jeitos (dois “caminhos”) que dão limites diferentes, o limite geral NÃO EXISTE.

Passo 3

Vamos testar o caminho y=0.
Substituindo na expressão:
2x^2+4cdot 0^23x^2+5cdot 0^2 =2x^23x^2 =23
Quando xto0, isso fica tfrac23.

Passo 4

Agora o caminho x=0.
2cdot 0^2+4y^23cdot 0^2+5y^2 =4y^25y^2 =45
Quando yto0, isso vai para tfrac45.

Resposta

Como alongo por y=0 tfrac23 e por x=0 tfrac45, os valores são diferentes. Logo, o limite NÃO EXISTE.

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