Exercício 1. (15 pontos) Resolva as integrais indefinidas abaixo:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral 1x^2+x+2,dx. Isso envolve completar o quadrado no denominador e usar a primitiva de 1u^2+a^2, que é 1aarctanl(uar).

Passo 2

Vamos completar o quadrado em x^2+x+2. Observamos que
x^2+x+2 = x^2+x+tfrac14 +2-tfrac14 = l(x+tfrac12r)^2 + tfrac74

Passo 3

Fazendo a substituição u = x+tfrac12, temos du = dx e o denominador vira u^2+(tfracraiz72)^2. Assim
integral 1x^2+x+2,dx = integral 1u^2+(tfracraiz72)^2,du

Passo 4

Aplicando a fórmula integral1u^2+a^2,du = 1aarctanl(uar)+C com a=tfracraiz72, obtemos
integral 1u^2+(tfracraiz72)^2,du = 1tfracraiz72arctanl(utfracraiz72r) + C = 2raiz7arctanl(2uraiz7r) + C

Passo 5

Voltando à variável x com u = x+tfrac12, a primitiva fica
2raiz7arctanl(2x+1raiz7r) + C

Resposta

2raiz7arctanl(tfrac2x+1raiz7r)+C

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