Atividade 1. Calcule as seguintes integrais:
integral-pi i^pi i 12 z d z

Passo 1

O exercício pede pra calcular a integral complexa integral-pi i^pi i tfrac12z,dz. O conteúdo aqui é integração de funções analíticas no plano complexo, e vamos precisar usar uma antiderivada de f(z)=tfrac12z.

Passo 2

Como f(z) é uma função polinomial, uma antiderivada válida é F(z)=tfrac14z^2, já que F'(z)=tfrac12z. Pelo teorema fundamental do cálculo para integrais complexas, temos integralz1^z2f(z),dz=F(z2)-F(z1).

Passo 3

Agora avaliamos F nas extremidades:
  • Para z=pi i:
F(pi i)=tfrac14(pi i)^2=tfrac14(pi^2 i^2)=tfrac14(pi^2cdot(-1))=-tfracpi^24
  • Para z=-pi i:
F(-pi i)=tfrac14(-pi i)^2=tfrac14(pi^2 i^2)= -tfracpi^24

Passo 4

Subtraindo os valores,
F(pi i)-F(-pi i)=-tfracpi^24-l(-tfracpi^24r)=0

Resposta

0

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