Questão 1 - Sabendo que o comprimento de uma curva descrita por uma função vetorial para um determinado intervalo de variação do parâmetro té calculado pela fórmula integralt0^t1|r^prime(t)| d t, calcule o comprimento da curva r(t)=(cos t, sin t, t) no intervalo [0,2 pi]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento de arco de uma curva vetorial vec r(t)=(cos t,,sin t,,t) no intervalo [0,2pi] usando a fórmula de comprimento de curva L=integralt0^t1|vec r,'(t)|,dt. Vamos usar esse conceito de comprimento de arco de curvas no espaço.

Passo 2

Para aplicar a fórmula, primeiro derivamos a função vetorial componente a componente. Como vec r(t)=(cos t,,sin t,,t), temos
vec r,'(t)=(-sin t,,cos t,,1)

Passo 3

Em seguida, calculamos a norma de vec r,'(t). Usando a identidade trigonométrica sin^2t+cos^2t=1, temos
|vec r,'(t)|=raiz(-sin t)^2+(cos t)^2+1^2= raizsin^2t+cos^2t+1=raiz1+1=raiz2

Passo 4

Como a norma de vec r,'(t) é a constante raiz2, o comprimento de arco fica
L=integral0^2pi|vec r,'(t)|,dt=integral0^2piraiz2,dt =raiz2integral0^2pidt=raiz2,(2pi-0)=2piraiz2

Resposta

2piraiz2

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