[8.6.3] Nos Problemas 29-38, ache a solução geral do sistema dado.
Passo 1
Temos o sistema de EDOs
O conteúdo aqui é solução de sistemas lineares de coeficientes constantes usando autovalores e autovetores, incluindo o caso degenerado em que o autovalor tem multiplicidade 2 e precisamos de um autovetor generalizado.
Passo 2
Montamos a matriz de coeficientes
e calculamos o polinômio característico
:
Resolvendo
achamos
com multiplicidade 2.
Passo 3
Para
buscamos autovetor
resolvendo
:
Da primeira linha vem
ou
. Podemos escolher
como autovetor.
Passo 4
Como o autovalor é único, precisamos de um autovetor generalizado
resolvendo
:
Da primeira equação
dá
. Tomando
fica
, isto é
.
Passo 5
A solução geral no caso de autovalor repetido é
ou seja
Resposta
A solução geral é
com
constantes arbitrárias.