[8.6.3] Nos Problemas 29-38, ache a solução geral do sistema dado.
d xd t=12 x-9 y
d yd t=4 x

Passo 1

Temos o sistema de EDOs
dxdt=12x-9y, dydt=4x
O conteúdo aqui é solução de sistemas lineares de coeficientes constantes usando autovalores e autovetores, incluindo o caso degenerado em que o autovalor tem multiplicidade 2 e precisamos de um autovetor generalizado.

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes
A=12 & -94 & 0
e calculamos o polinômio característico det(A-lambda I)=0:
det12-lambda & -94 & -lambda=(12-lambda)(-lambda)-(-9cdot4)=lambda^2-12lambda+36=0
Resolvendo lambda^2-12lambda+36=0 achamos lambda=6 com multiplicidade 2.

Passo 3

Para lambda=6 buscamos autovetor v resolvendo (A-6I)v=0:
6 & -94 & -6 v1v2=0
Da primeira linha vem 6v1-9v2=0 ou v1=tfrac32v2. Podemos escolher v=32 como autovetor.

Passo 4

Como o autovalor é único, precisamos de um autovetor generalizado w resolvendo (A-6I)w=v:
6 & -94 & -6 w1w2= 32
Da primeira equação 6w1-9w2=3 2w1-3w2=1. Tomando w2=0 fica w1=tfrac12, isto é w=1/20.

Passo 5

A solução geral no caso de autovalor repetido é
x(t)=C1v e^6t+C2(tv+w)e^6t,
ou seja
x(t)=l(3C1+C2(3t+tfrac12)r)e^6t, y(t)=l(2C1+2C2tr)e^6t

Resposta

A solução geral é
x(t)=l(3C1+C2(3t+tfrac12)r)e^6t, y(t)=l(2C1+2C2tr)e^6t,
com C1, C2 constantes arbitrárias.

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