Verifique as seguintes identidades trigonométricas para quaisquer x, y in R :
cos x-cos y=-2 sin x+y2 sin x-y2

Passo 1

Nesse exercício vamos verificar a identidade trigonométrica cos x - cos y = -2 sin x+y2 sin x-y2. O conteúdo central aqui é a fórmula de soma e diferença de cossenos e a transformação soma-produto.

Passo 2

Note que podemos escrever x = x+y2 + x-y2 e y = x+y2 - x-y2. Assim, conseguimos colocar cos x e cos y no formato de cos(apm b) para aplicar as fórmulas conhecidas.

Passo 3

Aplicamos as fórmulas de cosseno de soma e diferença:
cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b,
cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b
Isso nos dá:
cos x = cosl(x+y2 + x-y2r) = cosx+y2cosx-y2 - sinx+y2sinx-y2,
cos y = cosl(x+y2 - x-y2r) = cosx+y2cosx-y2 + sinx+y2sinx-y2

Passo 4

Ao subtrair essas expressões, o termo cosx+y2cosx-y2 se anula e obtemos
cos x - cos y = -2 sinx+y2 sinx-y2
Isso coincide exatamente com o lado direito da identidade, então ela está verificada.

Resposta

cos x - cos y = -2 sin x+y2 sin x-y2

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