Mostre que se lim n infty xn=0, então lim n infty|xn|=0.

Passo 1

Temos a sequência (xn) tal que limntoinftyxn=0. Queremos provar que isso implica limntoinfty|xn|=0. O tema aqui é limites de sequência e a propriedade do valor absoluto, que mede distância.

Passo 2

Lembrando a definição de limite de sequência:
limn to infty xn = 0 iff forall epsilon > 0, exists N in N, forall n >= N:;|xn - 0| < epsilon
Agora, seja epsilon>0. Pela hipótese de limntoinftyxn=0, existe N tal que para todo n>= N vale |xn - 0|. Observando que
|;|xn|-0;| = |xn| = |xn - 0|,
segue que para todo n>= N
|;|xn|-0;| < epsilon
Isso satisfaz exatamente a definição de limntoinfty|xn|=0.

Resposta

limntoinfty|xn|=0

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