Considere o espaço vetorial
.
Mostre que as funções abaixo não definem uma norma em
.
i.
ii.
iii.
Mostre que as funções abaixo não definem uma norma em
i.
ii.
iii.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que cada uma dessas aplicações em
não satisfaz as três propriedades exigidas para uma norma:
Precisamos verificar as propriedades de uma norma :
Precisamos verificar as propriedades de uma norma
Passo 2
Para
, que define
, observe o vetor
:
porém
Logo falha a positividade estrita (não há
Passo 3
Para
, que define
, teste homogeneidade com
e
:
como
Passo 4
Para
, que define
, teste a desigualdade triangular com
e
:
como
Resposta
i. falha a positividade estrita (definiteness);
ii. falha a homogeneidade absoluta;
iii. falha a desigualdade triangular.
ii. falha a homogeneidade absoluta;
iii. falha a desigualdade triangular.