Considere o espaço vetorial R^2.
Mostre que as funções abaixo não definem uma norma em R^2.
i. |(x, y)|1=|x|
ii. |(x, y)|2=|x|^2+|y|^2
iii. |(x, y)|3=|x|+|y|+2 raiz|x||y|

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que cada uma dessas aplicações em R^2 não satisfaz as três propriedades exigidas para uma norma:
Precisamos verificar as propriedades de uma norma |cdot|:
|v|>=0,|v|=0iff v=0,
|alpha v|=|alpha|,|v|,
|u+v|<=|u|+|v|

Passo 2

Para |cdot|1, que define |(x,y)|1=|x|, observe o vetor (0,1):
|(0,1)|1=|0|=0,
porém (0,1)neq(0,0).
Logo falha a positividade estrita (não há |v|=0iff v=0).

Passo 3

Para |cdot|2, que define |(x,y)|2=|x|^2+|y|^2, teste homogeneidade com alpha=2 e (1,0):
|2(1,0)|2=|2|^2+0=4,
2,|(1,0)|2=2,(1^2+0)=2,
como 4neq2, falha a homogeneidade |alpha v|=|alpha|,|v|.

Passo 4

Para |cdot|3, que define |(x,y)|3=|x|+|y|+2raiz|x||y|, teste a desigualdade triangular com u=(1,0) e v=(0,1):
|u|3=1,|v|3=1,
|u+v|3=|(1,1)|3=1+1+2raiz1cdot1=4,
como 4n<=1+1=2, falha a desigualdade triangular.

Resposta

i. falha a positividade estrita (definiteness);
ii. falha a homogeneidade absoluta;
iii. falha a desigualdade triangular.

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