Calcule a derivada das funções:
66. h(x)=e^xcos x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
h(x)=e^xcos x
Aqui vamos usar as regras de derivação de quociente ou, de forma equivalente, transformar em produto usando a função secante. Precisamos lembrar que sec x = 1/cos x e que
ddxe^x=e^x, ddxsec x=sec xtan x

Passo 2

Reescrevemos h(x) como um produto:
h(x)=e^xsec x

Passo 3

Aplicamos a regra do produto. Se u(x)=e^x e v(x)=sec x, então
h'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x) =e^xsec x + e^xl(sec xtan xr)
Logo,
h'(x)=e^xsec xl(1+tan xr)

Passo 4

Voltando em termos de cosseno e seno temos sec x=1/cos x e tan x=sin x/cos x, então
1+tan x=cos x+sin xcos x,
e portanto
h'(x) =e^x,1+tan xcos x =e^x,cos x+sin xcos^2x

Resposta

h'(x)=e^xl(cos x+sin xr)cos^2x

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