Resolva as seguintes equações lineares homogêneas utilizando a solução particular y1(x) indicada.
(h) x y^prime prime-(x+2) y^prime+2 y=0, y1(x)=e^x

Passo 1

O enunciado dá uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes variáveis:
Temos
x,y''-(x+2),y'+2,y=0
Um dos fundamentos da matéria é que, conhecendo uma solução particular y1(x), podemos achar a segunda solução linearmente independente usando redução de ordem. Vamos usar isso.

Passo 2

Para aplicar redução de ordem, fazemos o ansatz
y2(x)=v(x),y1(x)
onde y1(x)=e^x é a solução dada e v(x) é uma função a determinar.

Passo 3

Precisamos da derivação de y2. Calculamos:
y2'=v'e^x+v e^x,
y2''=v''e^x+2v'e^x+v e^x
Substituindo na EDO original e dividindo por e^x, obtemos
x(v''+2v'+v)-(x+2)(v'+v)+2v=0
Reagrupando termos em v'',v' e v, percebe-se que o termo em v some, sobrando
xv''+(x-2)v'=0

Passo 4

Fazemos a troca u=v', reduzindo a uma EDO de primeira ordem:
xu'+(x-2)u=0
Esta é linear em u. Colocando na forma padrão:
u'+x-2xu=0
temos
u'u=-l(1-2xr)
Integrando,
ln|u|=-x+2ln|x|+C
logo
u=C1 x^2e^-x

Passo 5

Agora integramos para encontrar v:
v=integral u,dx=C1integral x^2e^-xdx
Usando a primitiva conhecida,
integral x^2e^-xdx=-e^-x(x^2+2x+2)+tilde C,
temos
v=-C1e^-x(x^2+2x+2)+C2

Passo 6

A segunda solução é
y2=v,e^x=-C1(x^2+2x+2)+C2e^x
Descartando constantes triviais (e absorvendo sinais em C1,C2), podemos escolher
y2(x)=x^2+2x+2
Portanto, a solução geral da EDO é
y(x)=C1e^x+C2(x^2+2x+2)

Resposta

y(x)=C_1ex+C_2,(x2+2x+2)

Exercícios relacionados