Resolva as seguintes equações lineares homogêneas utilizando a solução particular
indicada.
(h)
(h)
Passo 1
O enunciado dá uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes variáveis:
Temos
Temos
Um dos fundamentos da matéria é que, conhecendo uma solução particular
, podemos achar a segunda solução linearmente independente usando redução de ordem. Vamos usar isso.
Passo 2
Para aplicar redução de ordem, fazemos o ansatz
onde
é a solução dada e
é uma função a determinar.
Passo 3
Precisamos da derivação de
. Calculamos:
Substituindo na EDO original e dividindo por
, obtemos
Reagrupando termos em
e
, percebe-se que o termo em
some, sobrando
Passo 4
Fazemos a troca
, reduzindo a uma EDO de primeira ordem:
Esta é linear em
. Colocando na forma padrão:
temos
Integrando,
logo
Passo 5
Agora integramos para encontrar
:
Usando a primitiva conhecida,
temos
Passo 6
A segunda solução é
Descartando constantes triviais (e absorvendo sinais em
), podemos escolher
Portanto, a solução geral da EDO é
Resposta
y(x)=C_1ex+C_2,(x2+2x+2)