[8,0 pontos ] Calcule as integrais de superfície.
a) [4,0 pontos ] integral duplaS x+2 y+z d S, em que S é o paralelogramo com equações paramétricas x=u+2 v, y=u-v, z=1+4 u+v, 1 <= u <= 4,0 <= v <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície de uma função escalar sobre um paralelogramo parametrizado. O conteúdo é integral de superfície de função escalar e vamos usar a fórmula
integral duplaS f,dS = integral duplaD fl( r(u,v)r),l| ru times rvr|,dudv
onde D é o domínio em (u,v).

Passo 2

A parametrização é dada por
r(u,v) = l(u+2v,;u-v,;1+4u+vr), 1<= u<=4,;0<= v<=1
Calculamos as derivadas parciais:
ru = (1,1,4), rv = (2,-1,1)

Passo 3

Para encontrar a área infinitesimal, fazemos o produto vetorial e sua norma:
ru times rv = (1,1,4)times(2,-1,1) = (5,7,-3),
l| ru times rvr| = raiz5^2 + 7^2 + (-3)^2 = raiz83

Passo 4

Expressamos a função f(x,y,z)=x+2y+z em termos de (u,v):
f(u,v) = (u+2v) + 2(u-v) + l(1+4u+vr) = 7u + v + 1
A integral de superfície fica
integral duplaS (x+2y+z),dS = raiz83 integralu=1^4 integralv=0^1 l(7u+v+1r) ,dv,du

Passo 5

Agora avaliamos a integral iterada. Primeiro em v:
integral0^1 (7u+v+1),dv = (7u+1)cdot1 + 12 = 7u + tfrac32
Depois em u:
integral1^4 l(7u + tfrac32r) du = [7u^22 + 3u2]1^4 = 7(16-1)2 + 3(4-1)2 = 57
Multiplicando por raiz83, obtemos o resultado.

Passo 6

O valor final da integral de superfície é
57raiz83

Resposta

57\sqrt{83}

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