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Resolva as seguintes equações lineares homogêneas utilizando a solução particular y1(x) indicada.
(a) x^2 y^prime prime-x y^prime+y=0, y1(x)=x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem uma equação linear homogênea do segundo grau:
x^2 y'' - x y' + y = 0
E já nos deram uma solução particular $ y_{1}(x) = x $. Para resolver isso, vamos usar o método de redução de ordem, que nos ajuda a encontrar a segunda solução quando já conhecemos uma. Vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais lineares e como funções específicas se comportam nessas equações. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, se já temos uma solução $ y_{1}(x) $, podemos encontrar uma segunda solução $ y_{2}(x) $ usando a fórmula:
y1(x)
Aqui, $ P(x) $ é o coeficiente de $ y’ $ na equação padrão $ y’’ + P(x)y’ + Q(x)y = 0 $. Primeiro, precisamos reescrever nossa equação nessa forma padrão.

Passo 3

Nossa equação original é:
x^2 y'' - x y' + y = 0
Vamos dividir tudo por $ x^{2} $ para deixar a equação na forma padrão:
x^2
Agora, identificamos $ P(x) = -\frac{1}{x} $ e $ Q(x) = \frac{1}{x^{2}} $.

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula para $ y_{2}(x) $:
y2(x)
Substituindo $ P(x) = -\frac{1}{x} $ e $ y_{1}(x) = x $:
y2(x) = y1(x) cdot integral e^-integral P(x) dx[y1(x)]^2 dx

Passo 5

Vamos calcular $ \int -\frac{1}{x} dx $:
integral -1x dx
Como estamos dentro de uma integral, a constante $ C $ pode ser ignorada:
integral -1x dx = -ln|x| + C

Passo 6

Substituindo de volta na expressão para $ y_{2}(x) $:
y2(x)
Agora, calculemos $ \int \frac{1}{x} dx $:
y2(x) = x cdot integral xx^2 dx = x cdot integral 1x dx
Novamente, a constante pode ser ignorada na integral para encontrar uma solução particular.

Passo 7

Portanto, a solução para $ y_{2}(x) $ fica:
y2(x)
Como estamos trabalhando com funções gerais, podemos escrever simplesmente $ \ln x $ assumindo $ x > 0 $.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 cdot x + C2 cdot x ln x
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.

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