3
Resolva as seguintes equações lineares homogêneas utilizando a solução particular
indicada.
(a)
Resolva as seguintes equações lineares homogêneas utilizando a solução particular
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem uma equação linear homogênea do segundo grau:
E já nos deram uma solução particular $ y_{1}(x) = x $. Para resolver isso, vamos usar o método de redução de ordem, que nos ajuda a encontrar a segunda solução quando já conhecemos uma. Vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais lineares e como funções específicas se comportam nessas equações. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, se já temos uma solução $ y_{1}(x) $, podemos encontrar uma segunda solução $ y_{2}(x) $ usando a fórmula:
Aqui, $ P(x) $ é o coeficiente de $ y’ $ na equação padrão $ y’’ + P(x)y’ + Q(x)y = 0 $. Primeiro, precisamos reescrever nossa equação nessa forma padrão.
Passo 3
Nossa equação original é:
Vamos dividir tudo por $ x^{2} $ para deixar a equação na forma padrão:
Agora, identificamos $ P(x) = -\frac{1}{x} $ e $ Q(x) = \frac{1}{x^{2}} $.
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula para $ y_{2}(x) $:
Substituindo $ P(x) = -\frac{1}{x} $ e $ y_{1}(x) = x $:
Passo 5
Vamos calcular $ \int -\frac{1}{x} dx $:
Como estamos dentro de uma integral, a constante $ C $ pode ser ignorada:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão para $ y_{2}(x) $:
Agora, calculemos $ \int \frac{1}{x} dx $:
Novamente, a constante pode ser ignorada na integral para encontrar uma solução particular.
Passo 7
Portanto, a solução para $ y_{2}(x) $ fica:
Como estamos trabalhando com funções gerais, podemos escrever simplesmente $ \ln x $ assumindo $ x > 0 $.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.