8ª Questão. A base de um sólido é um disco circular de raio 3. Ache o volume do sólido se as secções transversais paralelas perpendiculares à base são triângulos retos isósceles com a hipotenusa na base.
Passo 1
O enunciado diz que temos um sólido cuja base é um disco de raio
no plano, e que as seções transversais, perpendicularmente à base (isto é, fatias verticais), são triângulos retos isósceles com a hipotenusa apoyada na base. Para encontrar o volume, vamos usar o método de cortes: em cada posição
calculamos a área da seção e depois integramos sobre todo o disco.
Passo 2
Escolhemos um eixo
que atravessa o centro do disco. Em uma fatia perpendicular ao eixo
localizada em abscissa
, o intercepto dessa reta com o disco é um cordão de comprimento igual à hipotenusa do triângulo. Como o raio é
, a metade desse cordão vale
, logo a hipotenusa é
Passo 3
Em um triângulo retângulo isósceles, se chamarmos de
cada cateto e de
a hipotenusa, vale
, então
. A área do triângulo é
Passo 4
Substituindo
na expressão da área,
Passo 5
O volume do sólido é dado pela integral das áreas das seções de
até
:
Calculando,
então
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.