8ª Questão. A base de um sólido é um disco circular de raio 3. Ache o volume do sólido se as secções transversais paralelas perpendiculares à base são triângulos retos isósceles com a hipotenusa na base.

Passo 1

O enunciado diz que temos um sólido cuja base é um disco de raio 3 no plano, e que as seções transversais, perpendicularmente à base (isto é, fatias verticais), são triângulos retos isósceles com a hipotenusa apoyada na base. Para encontrar o volume, vamos usar o método de cortes: em cada posição x calculamos a área da seção e depois integramos sobre todo o disco.

Passo 2

Escolhemos um eixo x que atravessa o centro do disco. Em uma fatia perpendicular ao eixo x localizada em abscissa x, o intercepto dessa reta com o disco é um cordão de comprimento igual à hipotenusa do triângulo. Como o raio é 3, a metade desse cordão vale \sqrt{9 - x^2}, logo a hipotenusa é
h(x) = 2\,\sqrt{9 - x^2}.

Passo 3

Em um triângulo retângulo isósceles, se chamarmos de l cada cateto e de h a hipotenusa, vale h = l\sqrt{2}, então l = h/\sqrt{2}. A área do triângulo é
A = \tfrac{1}{2}\,l^2 = \tfrac{1}{2}\,\bigl(\tfrac{h}{\sqrt{2}}\bigr)^{2} = \tfrac{h^2}{4}.

Passo 4

Substituindo h(x) na expressão da área,
A(x) = \frac{\bigl(2\sqrt{9 - x^2}\bigr)^2}{4} = \frac{4\,(9 - x^2)}{4} = 9 - x^2.

Passo 5

O volume do sólido é dado pela integral das áreas das seções de x=-3 até x=3:
V = \int_{-3}^{3} A(x)\,dx = \int_{-3}^{3} \bigl(9 - x^2\bigr)\,dx.
Calculando,
\int (9 - x^2)\,dx = 9x - \frac{x^3}{3},
então
V = \Bigl[\,9x - \tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{-3}^{3} = \bigl(27 - 9\bigr) - \bigl(-27 + 9\bigr) = 18 - (-18) = 36.

Resposta

O volume do sólido é 36 unidades cúbicas.

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