Questão. Esboce as curvas e determine a área da região delimitada por elas.
Passo 1
O enunciado pede que a gente esboce as curvas
e
e depois calcule a área da região que elas delimitam. A reta
tem inclinação
passando pela origem, e a parábola
abre para a direita. Se completarmos o quadrado em
,
vemos que o vértice está em
. Para achar a área, vamos integrar em
a diferença entre as abscissas das duas curvas entre os pontos de interseção.
Passo 2
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as abscissas:
Logo as interseções ocorrem em
Passo 3
Em cada
entre
e
, a reta dá
e a parábola dá
Para ver qual está mais à direita, testamos um
qualquer, por exemplo
:
ou seja, a reta fica à direita da parábola nesse intervalo.
Passo 4
A área
é dada pela integral da abscissa da curva da direita menos a da esquerda, de
até
:
Passo 5
Simplificando o integrando:
Então
Em
o termo é
. Em
:
Logo
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
.