7^{\text {a }} Questão. Esboce as curvas e determine a área da região delimitada por elas.
x+y=0, x=y^{2}+3 y

Passo 1

O enunciado pede que a gente esboce as curvas
x+y=0
e
x=y^2+3y
e depois calcule a área da região que elas delimitam. A reta x+y=0 tem inclinação -1 passando pela origem, e a parábola x=y^2+3y abre para a direita. Se completarmos o quadrado em y,
x = y^2+3y = \bigl(y+\tfrac32\bigr)^2 - \tfrac94,
vemos que o vértice está em \bigl(-\tfrac94,\,-\tfrac32\bigr). Para achar a área, vamos integrar em y a diferença entre as abscissas das duas curvas entre os pontos de interseção.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as abscissas:
-y \;=\; y^2+3y \quad\Longrightarrow\quad y^2+4y=0 \quad\Longrightarrow\quad y(y+4)=0
Logo as interseções ocorrem em
y=0 \quad\text{e}\quad y=-4.

Passo 3

Em cada y entre -4 e 0, a reta dá
x_{\text{reta}}=-y,
e a parábola dá
x_{\text{par}}=y^2+3y.
Para ver qual está mais à direita, testamos um y qualquer, por exemplo y=-2:
x_{\text{reta}}=-(-2)=2, \quad x_{\text{par}}=(-2)^2+3(-2)=4-6=-2,
ou seja, a reta fica à direita da parábola nesse intervalo.

Passo 4

A área A é dada pela integral da abscissa da curva da direita menos a da esquerda, de y=-4 até y=0:
A = \int_{y=-4}^{0}\bigl[x_{\text{reta}} - x_{\text{par}}\bigr]\,dy = \int_{-4}^{0}\bigl[(-y)- (y^2+3y)\bigr]\,dy.

Passo 5

Simplificando o integrando:
(-y)-(y^2+3y) = -y^2 -4y.
Então
A = \int_{-4}^{0}(-y^2 -4y)\,dy = \left[-\frac{y^3}{3}-2y^2\right]_{-4}^{0}.
Em y=0 o termo é 0. Em y=-4:
-\frac{(-4)^3}{3}-2(-4)^2 = -\bigl(-\tfrac{64}{3}\bigr)-2\cdot16 = \frac{64}{3}-32 = -\frac{32}{3}.
Logo
A = 0 -\Bigl(-\tfrac{32}{3}\Bigr) = \frac{32}{3}.

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é \displaystyle \frac{32}{3}.

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