Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado pelo método dos discos/arruelas. Obs.: Esboce a região a ser rotacionada e identifique os elementos da seção transversal para calcular o volume do sólido.
; em torno do eixo
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado ao rotacionar em torno do eixo
a região plana limitada pelas curvas
e
. Trata-se de aplicar o método dos discos/arruelas, para o qual usaremos a fórmula
onde
é o raio externo e
o raio interno da seção transversal.
Passo 2
Para encontrar os limites de integração, igualamos as curvas:
Logo, a região está entre
e
.
Passo 3
No intervalo
, a reta
fica acima da parábola
. Ao girar em torno de
, os raios são
Passo 4
A área de uma secção transversal perpendicular a
é
Passo 5
Integrando de
a
:
Resposta
O volume do sólido é
.