Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado pelo método dos discos/arruelas. Obs.: Esboce a região a ser rotacionada e identifique os elementos da seção transversal para calcular o volume do sólido.
y=2 x, y=x^{2}; em torno do eixo x

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado ao rotacionar em torno do eixo x a região plana limitada pelas curvas \,y=2x e \,y=x^2. Trata-se de aplicar o método dos discos/arruelas, para o qual usaremos a fórmula
V = \int_{a}^{b} \pi\bigl[R(x)^2 - r(x)^2\bigr]\,dx,
onde R(x) é o raio externo e r(x) o raio interno da seção transversal.

Passo 2

Para encontrar os limites de integração, igualamos as curvas:
x^2 = 2x \quad\Longrightarrow\quad x(x-2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\text{ ou }x=2.
Logo, a região está entre x=0 e x=2.

Passo 3

No intervalo 0\le x\le2, a reta y=2x fica acima da parábola y=x^2. Ao girar em torno de x, os raios são
R(x)=\text{ distância da reta ao eixo }x = 2x,â
r(x)=\text{ distância da parábola ao eixo }x = x^2.âá

Passo 4

A área de uma secção transversal perpendicular a x é
A(x) = \pi\bigl[R(x)^2 - r(x)^2\bigr] = \pi\bigl[(2x)^2 - (x^2)^2\bigr] = \pi\bigl[4x^2 - x^4\bigr].

Passo 5

Integrando de 0 a 2:
V = \int_{0}^{2} A(x)\,dx = \pi \int_{0}^{2} \bigl(4x^2 - x^4\bigr)\,dx = \pi \Bigl[\tfrac{4x^3}{3} - \tfrac{x^5}{5}\Bigr]_{0}^{2} = \pi\Bigl(\tfrac{32}{3} - \tfrac{32}{5}\Bigr) = \pi\,\tfrac{64}{15}.

Resposta

O volume do sólido é V = \dfrac{64\pi}{15}.

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