[8] Sejam
e
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede que mostremos que elas são iguais para todo
. As funções são:
Informações relevantes que sabemos do enunciado (lista clara do que foi dado):
- Os argumentos dos logaritmos são
e . - O domínio natural pedido é
(precisamos verificar se os logaritmos estão bem definidos para todo ). - A afirmação a provar é:
para todo .
Passo 2
Verificação do domínio (para garantir que as expressões estão definidas para todo
):
- Para
: o argumento é . Como para todo , temos . Logo o logaritmo está definido para todo . - Para
: o argumento é . Como , e . Logo o logaritmo também está definido para todo .
Conclusão do passo: ambas as funções estão definidas em todo, portanto a comparação faz sentido para todo .
Passo 3
Simplificar
usando propriedades básicas de logaritmos:
- Propriedade útil:
. Em particular, . Mas . Assim
Aplicando isso a
, com
, obtemos
Também podemos usar a fatoração
caso precise.
Passo 4
Simplificar
usando propriedades de logaritmos (potência e soma):
- Propriedade:
. - Propriedade:
.
Começando por dentro:
Então
Escrevendo
como
(já que
) e usando
, obtemos
Como
, podemos resumir:
Passo 5
Comparação das formas simplificadas de
e
:
- Temos, com
,
A igualdade
para todo
equivaleria a
Usando mudança de base
, a igualdade torna-se
Se
(o que é verdade aqui porque
, então
e
), podemos dividir por
e obter a condição
Mas isso é falso: o valor correto de
é aproximadamente
, não
. Portanto a identidade proposta não pode ser verdadeira para todos os
.
Passo 6
Dar um contraexemplo numérico simples para tornar evidente que a igualdade falha:
- Tome
. Então . - Calculamos
Como
, temos
. Logo
e
não são iguais em todo
.
Resposta
A igualdade não é verdadeira para todo
. Contraexemplo:
dá
e
, portanto
.