[8] Sejam f(x)=\log _{\frac{1}{3}}\left(2 x^{2}+4\right) e g(x)=-3+\log _{2}\left(\frac{1}{\left(x^{2}+2\right)^{3}}\right). Prove que f(x)=g(x), \forall x \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede que mostremos que elas são iguais para todo x\in\mathbb{R}. As funções são:
f(x)=\log_{\frac{1}{3}}\!\bigl(2x^{2}+4\bigr)
g(x)=-3+\log_{2}\!\biggl(\frac{1}{\bigl(x^{2}+2\bigr)^{3}}\biggr)
Informações relevantes que sabemos do enunciado (lista clara do que foi dado):
  • Os argumentos dos logaritmos são 2x^{2}+4 e \dfrac{1}{(x^{2}+2)^{3}}.
  • O domínio natural pedido é x\in\mathbb{R} (precisamos verificar se os logaritmos estão bem definidos para todo x\in\mathbb{R}).
  • A afirmação a provar é: f(x)=g(x) para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Verificação do domínio (para garantir que as expressões estão definidas para todo x\in\mathbb{R}):
  • Para f: o argumento é 2x^{2}+4. Como x^{2}\ge 0 para todo x, temos 2x^{2}+4\ge 4>0. Logo o logaritmo está definido para todo x\in\mathbb{R}.
  • Para g: o argumento é \dfrac{1}{(x^{2}+2)^{3}}. Como x^{2}+2\ge 2>0, (x^{2}+2)^{3}>0 e \dfrac{1}{(x^{2}+2)^{3}}>0. Logo o logaritmo também está definido para todo x\in\mathbb{R}.
    Conclusão do passo: ambas as funções estão definidas em todo \mathbb{R}, portanto a comparação faz sentido para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Simplificar f(x) usando propriedades básicas de logaritmos:
  • Propriedade útil: \log_{a}b=\dfrac{\log_{c}b}{\log_{c}a}. Em particular, \log_{1/3}y=\dfrac{\log_{3}y}{\log_{3}(1/3)}. Mas \log_{3}(1/3)=-1. Assim
\log_{\frac{1}{3}}y = -\log_{3}y.
Aplicando isso a f, com y=2x^{2}+4, obtemos
f(x)= -\log_{3}\!\bigl(2x^{2}+4\bigr).
Também podemos usar a fatoração 2x^{2}+4=2(x^{2}+2) caso precise.

Passo 4

Simplificar g(x) usando propriedades de logaritmos (potência e soma):
  • Propriedade: \log_{b}(A^{c})=c\log_{b}A.
  • Propriedade: \log_{b}1=0.
    Começando por dentro:
\log_{2}\!\biggl(\frac{1}{(x^{2}+2)^{3}}\biggr) = \log_{2}\!\bigl((x^{2}+2)^{-3}\bigr) = -3\log_{2}\!\bigl(x^{2}+2\bigr).
Então
g(x) = -3 + \bigl(-3\log_{2}(x^{2}+2)\bigr) = -3 - 3\log_{2}(x^{2}+2).
Escrevendo -3 como -3\log_{2}2 (já que \log_{2}2=1) e usando \log_{2}A+\log_{2}B=\log_{2}(AB), obtemos
g(x) = -3\bigl(\log_{2}2 + \log_{2}(x^{2}+2)\bigr) = -3\log_{2}\!\bigl(2(x^{2}+2)\bigr).
Como 2(x^{2}+2)=2x^{2}+4, podemos resumir:
g(x) = -3\log_{2}\!\bigl(2x^{2}+4\bigr).

Passo 5

Comparação das formas simplificadas de f e g:
  • Temos, com A:=2x^{2}+4>0,
f(x) = -\log_{3}A, \qquad g(x) = -3\log_{2}A.
A igualdade f(x)=g(x) para todo x equivaleria a
-\log_{3}A = -3\log_{2}A \quad\Longleftrightarrow\quad \log_{3}A = 3\log_{2}A.
Usando mudança de base \log_{3}A=\dfrac{\log_{2}A}{\log_{2}3}, a igualdade torna-se
\dfrac{\log_{2}A}{\log_{2}3} = 3\log_{2}A.
Se \log_{2}A\neq 0 (o que é verdade aqui porque A=2x^{2}+4\ge 4, então A\neq 1 e \log_{2}A\neq 0), podemos dividir por \log_{2}A e obter a condição
\dfrac{1}{\log_{2}3} = 3 \quad\Longleftrightarrow\quad \log_{2}3 = \tfrac{1}{3}.
Mas isso é falso: o valor correto de \log_{2}3 é aproximadamente \log_{2}3\approx 1{,}585\ldots, não \tfrac{1}{3}. Portanto a identidade proposta não pode ser verdadeira para todos os x.

Passo 6

Dar um contraexemplo numérico simples para tornar evidente que a igualdade falha:
  • Tome x=0. Então A=2\cdot 0^{2}+4=4.
  • Calculamos
f(0)=\log_{\frac{1}{3}}4 = -\log_{3}4\approx -1{,}2619\ldots
g(0)=-3+\log_{2}\!\biggl(\frac{1}{2^{3}}\biggr) = -3 + \log_{2}\!\bigl(\tfrac{1}{8}\bigr) = -3 + (-3) = -6.
Como -\log_{3}4\neq -6, temos f(0)\neq g(0). Logo f e g não são iguais em todo \mathbb{R}.

Resposta

A igualdade não é verdadeira para todo x\in\mathbb{R}. Contraexemplo: x=0 f(0)= -\log_{3}4 e g(0)=-6, portanto f(0)\neq g(0).

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