( \mathbf{2 , 0} pontos) Calcule o calor de vaporização da amônia \mathrm{a}-10^{\circ} \mathrm{C} usando a equação de Clapeyron.
h_{v}=h_{l}+T\left(v_{v}-v_{l}\right)\left(\frac{d P}{d T}\right)_{s a t}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o calor de vaporização da amônia a -10^\circ\mathrm{C} usando a equação de Clapeyron dada:
h_{v}=h_{l}+T\left(v_{v}-v_{l}\right)\left(\frac{dP}{dT}\right)_{sat}.
Informações explícitas no enunciado:
  • Temperatura de interesse: -10^\circ\mathrm{C} (ou seja T=263{,}15\\ \mathrm{K}).
  • A equação que devemos usar (Clapeyron) está fornecida.
Informações que são necessárias, mas NÃO foram fornecidas no enunciado:
  • O entalpia específica da amônia no estado líquido saturado a -10^\circ\mathrm{C}, isto é h_l (unidade: \mathrm{J/kg} ou \mathrm{kJ/kg}).
  • Os volumes específicos do vapor e do líquido saturados a -10^\circ\mathrm{C}: v_v e v_l (unidade: \mathrm{m^3/kg}).
  • A derivada da pressão de saturação em função da temperatura naquele ponto: \left(\dfrac{dP}{dT}\right)_{sat} (unidade: \mathrm{Pa/K} ou equivalente).
Conclusão do passo: para obter um valor numérico de h_v é indispensável dispor de pelo menos alguns desses dados (tabelas de propriedades saturadas da amônia ou uma correlação de pressão de vapor como Antoine). Sem esses dados numéricos não é possível calcular um valor numérico final.

Passo 2

O que é a equação de Clapeyron e o que cada termo significa (aula rápida e prática):
  • A equação dada relaciona a entalpia específica do vapor saturado h_v com a entalpia do líquido saturado h_l e o termo associado à variação de pressão com a temperatura. Ela vem da condição de equilíbrio entre fases e das relações termodinâmicas básicas.
  • Variáveis:
    • h_v: entalpia específica do vapor saturado (unidade típica: \mathrm{J/kg} ou \mathrm{kJ/kg}).
    • h_l: entalpia específica do líquido saturado (mesmas unidades).
    • T: temperatura absoluta em Kelvin ( \mathrm{K}).
    • v_v: volume específico do vapor saturado ( \mathrm{m^3/kg}).
    • v_l: volume específico do líquido saturado ( \mathrm{m^3/kg}).
    • \left(\dfrac{dP}{dT}\right)_{sat}: derivada da pressão de saturação em relação à temperatura na curva de saturação ( \mathrm{Pa/K}).
  • Interpretação física: a diferença h_v-h_l é o calor latente de vaporização ( h_{fg}). A equação diz que esse calor latente é igual ao produto da temperatura pela variação de volumes entre as fases vezes a inclinação da curva de saturação P(T).

Passo 3

Como obter \left(\dfrac{dP}{dT}\right)_{sat} na prática (duas formas úteis):
  1. A partir de uma correlação analítica para a pressão de vapor, por exemplo a equação de Antoine:
    \log_{10} P = A - \frac{B}{T+C},
    onde P é a pressão de saturação (unidade depende dos coeficientes) e A,B,C são constantes. Diferenciando:
    \frac{d\ln P}{dT} = \ln(10)\,\frac{B}{(T+C)^2}.
    Assim
    \frac{dP}{dT} = P\,\ln(10)\,\frac{B}{(T+C)^2}.
    Observação: os coeficientes A,B,C dependem da unidade de P e da faixa de temperatura; eles devem ser obtidos em tabelas ou literatura especializada para a amônia.
  2. Se você tiver uma tabela P_{sat}(T) tabulada, pode estimar numericamente a derivada pela diferença finita centrada:
    \left(\frac{dP}{dT}\right)_{T_0} \approx \frac{P_{sat}(T_0+\Delta T)-P_{sat}(T_0-\Delta T)}{2\Delta T},
    escolhendo \Delta T pequeno (por exemplo 1^\circ\mathrm{C} ou 0{,}5^\circ\mathrm{C}), e as pressões em Pa.

Passo 4

Como obter v_v e v_l na prática:
  • Volume específico do líquido saturado v_l: é pequeno comparado ao do vapor; pode ser lido diretamente nas tabelas de propriedades saturadas para a amônia a -10^\circ\mathrm{C}.
  • Volume específico do vapor saturado v_v:
    • Se você tiver v_v em tabela, use diretamente.
    • Uma aproximação prática (quando o vapor está longe da região critica e comportamento ideal é razoável) é usar a equação dos gases ideais: v_v \approx \frac{R_{\text{sp}}\,T}{P_{sat}},onde R_{\text{sp}} é a constante do gás específico da amônia. Valores numéricos: R_{\text{univ}}=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},\qquad M_{\mathrm{NH_3}}=0{,}017031\\ \mathrm{kg/mol},
R_{\mathrm{NH_3}}=\frac{R_{\text{univ}}}{M_{\mathrm{NH_3}}}\approx 488{,}22\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Então v_v \approx \frac{488{,}22\,T}{P_{sat}}\quad\left(\mathrm{m^3/kg}\right),desde que P_{sat} esteja em \mathrm{Pa} e T em \mathrm{K}.

Passo 5

Combinação das peças: fórmula prática para o calor latente h_{fg}=h_v-h_l
  • A equação de Clapeyron pode ser rearranjada para o latente: h_{fg}\equiv h_v-h_l = T\,(v_v-v_l)\left(\frac{dP}{dT}\right)_{sat}.
  • Se v_l for muito pequeno frente a v_v (caso comum), podemos aproximar h_{fg}\approx T\,v_v\left(\frac{dP}{dT}\right)_{sat}.
  • Substituindo a aproximação ideal para v_v e a expressão da derivada vinda da equação de Antoine, obtém-se uma fórmula prática que dispensa a pressão saturada explícita: h_{fg}\approx T\left(\frac{R_{\mathrm{NH_3}}\,T}{P}\right)\left(P\,\ln(10)\,\frac{B}{(T+C)^2}\right) = R_{\mathrm{NH_3}}\,T^2\,\ln(10)\,\frac{B}{(T+C)^2},onde A,B,C são os coeficientes de Antoine apropriados (e T em Kelvin). Note que nessa expressão o P cancela, por causa da sua presença em v_v e em dP/dT.

Passo 6

Receita passo a passo (o que você faria na prova, rápido e seguro):
  1. Consulte tabela ou correlação (Antoine) para obter P_{sat} em -10^\circ\mathrm{C} ou obter os coeficientes A,B,C.
  2. Leia h_l em tabela a -10^\circ\mathrm{C} (ou, se a questão pedir apenas o calor latente, foque em h_{fg}).
  3. Leia ou calcule v_v e v_l; se usar ideal, calcule v_v=\dfrac{R_{\mathrm{NH_3}}\,T}{P_{sat}}.
  4. Calcule \left(\dfrac{dP}{dT}\right)_{sat} diferenciando a correlação (por ex. Antoine) ou por diferença finita na tabela.
  5. Substitua tudo em h_v = h_l + T\,(v_v-v_l)\left(\frac{dP}{dT}\right)_{sat}e obtenha h_v (ou calcule h_{fg}=h_v-h_l).

Passo 7

Por que eu não dei um número final aqui (explicação honesta e incentivo):
  • O enunciado não forneceu tabelas nem constantes (Antoine nem P_{sat}, v_v, v_l, h_l). Segundo as regras de resolução, não devo inventar dados. Para um valor numérico preciso é obrigatório consultar tabelas de propriedades da amônia ou uma correlação confiável.
  • Se você quiser, me diga (ou cole) os valores da tabela/constantes que você tem (por exemplo: P_{sat} a -10^\circ\mathrm{C}, h_l, ou os coeficientes de Antoine), e eu faço o cálculo passo a passo e te mostro as contas (sem pular etapas). Você está quase lá — falta só trazer os dados da tabela e eu faço tudo com calma.

Resposta

Não é possível calcular numericamente porque o enunciado não fornece os dados termodinâmicos necessários (pressão de saturação P_{sat} a -10^\circ\mathrm{C}, volumes específicos v_v e v_l ou constantes de Antoine A,B,C, e/ou h_l). Fórmula prática para usar assim que tiver os dados:
h_v = h_l + T\,(v_v-v_l)\left(\frac{dP}{dT}\right)_{sat},
com a alternativa prática (se v_l desprezível e usando Antoine \log_{10}P=A-\dfrac{B}{T+C}):
h_{fg}\approx R_{\mathrm{NH_3}}\,T^2\,\ln(10)\,\frac{B}{(T+C)^2},
onde R_{\mathrm{NH_3}}\approx 488{,}22\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, e então h_v=h_l+h_{fg}.

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