Use a prova por contradição para demostrar que:
Se a e b são inteiros, então a^{2}-4 b-3 \neq 0

Passo 1

O enunciado dá que a e b são inteiros.
O que precisamos demonstrar é que a expressão a^{2}-4b-3 nunca é igual a zero quando a e b são inteiros; ou seja, provar que
a^{2}-4b-3 \neq 0
para quaisquer inteiros a e b.

Passo 2

Vamos usar prova por contradição. Para isso, assumimos o contrário do que queremos provar. Suponha que existam inteiros a e b tais que
a^{2}-4b-3 = 0.
A partir disso, rearranjamos a igualdade:
a^{2} = 4b + 3.
Isso significa que a^{2} difere de um múltiplo de 4 exatamente por 3; em termos de congruência, isso dá
a^{2} \equiv 3 \pmod{4}.

Passo 3

Agora vamos estudar que restos um quadrado perfeito pode ter ao dividir por 4. Isso é um conceito muito útil: quando digo "resto ao dividir por 4", estou dizendo o valor da congruência módulo 4.
Qualquer inteiro a é ou par ou ímpar. Escrevemos isso com a em função de outro inteiro k:
  1. Se a é par, então existe inteiro k tal que a = 2k. Calculamos o quadrado:
a^{2} = (2k)^{2} = 4k^{2}.
Como 4k^{2} é múltiplo de 4, temos
a^{2} \equiv 0 \pmod{4}.
  1. Se a é ímpar, então existe inteiro k tal que a = 2k+1. Calculamos o quadrado:
a^{2} = (2k+1)^{2} = 4k^{2} + 4k + 1 = 4\bigl(k^{2}+k\bigr) + 1.
Como k^{2}+k é inteiro, isso mostra que a^{2} é da forma 4\cdot(\text{inteiro}) + 1, ou seja
a^{2} \equiv 1 \pmod{4}.
Portanto, para qualquer inteiro a temos necessariamente
a^{2} \equiv 0 \pmod{4} \quad\text{ou}\quad a^{2} \equiv 1 \pmod{4}.
Um pequeno conjunto de exemplos para fixar: 0^{2}=0\equiv0\pmod{4}, 1^{2}=1\equiv1\pmod{4}, 2^{2}=4\equiv0\pmod{4}, 3^{2}=9\equiv1\pmod{4}.

Passo 4

Voltando à nossa suposição, havíamos obtido a^{2}\equiv 3\pmod{4}. Mas do Passo 3 vimos que isso é impossível: nenhum quadrado inteiro é congruente a 3 módulo 4; quadrados só podem ser congruentes a 0 ou 1 módulo 4.
Logo, chegamos a uma contradição: a suposição de que existe a,b\in\mathbb{Z} com a^{2}-4b-3=0 implica que a^{2}\equiv3\pmod{4}, o que contradiz o fato provado de que a^{2}\equiv0 ou 1\pmod{4}.

Passo 5

Como a suposição levou a uma contradição, a suposição é falsa. Portanto não existem inteiros a e b tais que a^{2}-4b-3=0. Isso prova que, para quaisquer inteiros a e b,
a^{2}-4b-3 \neq 0.

Resposta

\forall a,b\in\mathbb{Z},\; a^{2}-4b-3\neq 0.

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