Use a prova por contradição para demostrar que:
Se a e b são inteiros, então
Se a e b são inteiros, então
Passo 1
O enunciado dá que
e
são inteiros.
O que precisamos demonstrar é que a expressão nunca é igual a zero quando
e
são inteiros; ou seja, provar que
O que precisamos demonstrar é que a expressão
para quaisquer inteiros
e
.
Passo 2
Vamos usar prova por contradição. Para isso, assumimos o contrário do que queremos provar. Suponha que existam inteiros
e
tais que
A partir disso, rearranjamos a igualdade:
Isso significa que
difere de um múltiplo de
exatamente por
; em termos de congruência, isso dá
Passo 3
Agora vamos estudar que restos um quadrado perfeito pode ter ao dividir por
. Isso é um conceito muito útil: quando digo "resto ao dividir por
", estou dizendo o valor da congruência módulo
.
Qualquer inteiro
é ou par ou ímpar. Escrevemos isso com
em função de outro inteiro
:
- Se
é par, então existe inteiro tal que . Calculamos o quadrado:
Como
é múltiplo de
, temos
- Se
é ímpar, então existe inteiro tal que . Calculamos o quadrado:
Como
é inteiro, isso mostra que
é da forma
, ou seja
Portanto, para qualquer inteiro
temos necessariamente
Um pequeno conjunto de exemplos para fixar:
,
,
,
.
Passo 4
Voltando à nossa suposição, havíamos obtido
. Mas do Passo 3 vimos que isso é impossível: nenhum quadrado inteiro é congruente a
módulo
; quadrados só podem ser congruentes a
ou
módulo
.
Logo, chegamos a uma contradição: a suposição de que existe
com
implica que
, o que contradiz o fato provado de que
ou
.
Passo 5
Como a suposição levou a uma contradição, a suposição é falsa. Portanto não existem inteiros
e
tais que
. Isso prova que, para quaisquer inteiros
e
,