Use a prova por contradição para demostrar que:
\sqrt{2} é irracional

Passo 1

O enunciado pede que mostremos, usando prova por contradição, que \sqrt{2} é irracional.
Informações dadas: o número em questão é \sqrt{2} e o método exigido é prova por contradição (ou seja, assumiremos o contrário e chegaremos a uma contradição).

Passo 2

Vamos fixar conceitos importantes que vamos usar (explicados de forma bem simples).
Definição de número racional: um número é racional se pode ser escrito como uma fração \dfrac{p}{q}, onde p e q são inteiros, q\neq 0. Podemos sempre escolher p e q de modo que a fração esteja em forma irredutível, isto é, \gcd(p,q)=1 (o máximo divisor comum de p e q é 1).
Definição de número irracional: um número que não pode ser escrito nessa forma \dfrac{p}{q} com inteiros p,q.
Observação sobre paridade (par/ímpar): um inteiro é par se é da forma 2k para algum inteiro k; é ímpar se é da forma 2k+1. Produto e potência preservam paridade de forma conhecida: se p é ímpar então p^2 é ímpar; se p^2 é par então p é par. Vou provar essa última afirmação quando precisar — é simples e útil.

Passo 3

Iniciamos a prova por contradição assumindo o contrário do que queremos provar. Suponha que \sqrt{2} é racional.
Então existem inteiros p e q com q\neq 0 e \gcd(p,q)=1 tais que
\sqrt{2}=\frac{p}{q}.
Essa escolha com \gcd(p,q)=1 é possível porque, se existisse uma representação qualquer, podemos simplificá-la até ficar irredutível.

Passo 4

A partir de \sqrt{2}=\dfrac{p}{q} elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
2=\frac{p^{2}}{q^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por q^{2} obtemos
p^{2}=2q^{2}.
Essa igualdade é crucial: ela diz que p^{2} é um número par porque é igual a 2 vezes outro inteiro ( q^{2}).

Passo 5

Mostro agora que, se p^{2} é par, então p é par.
Prova rápida: suponha, para ver a contrapartida, que p fosse ímpar, então existe inteiro k tal que p=2k+1. Então
p^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1=2(2k^{2}+2k)+1,
que é um número da forma 2(\text{inteiro})+1, ou seja, ímpar. Isso contradiz a informação anterior de que p^{2} é par. Logo p não pode ser ímpar; deve ser par. Portanto existe inteiro k tal que
p=2k.

Passo 6

Substituímos p=2k na igualdade da etapa anterior p^{2}=2q^{2}. Temos
(2k)^{2}=2q^{2}
ou seja
4k^{2}=2q^{2}.
Dividindo ambos os lados por 2 obtemos
2k^{2}=q^{2}.
Isso mostra que q^{2} é par, e pelo mesmo raciocínio da etapa anterior (se q^{2} é par então q é par) concluímos que q também é par.

Passo 7

Chegamos então à conclusão de que tanto p quanto q são pares, ou seja, ambos são múltiplos de 2. Isso significa que 2 é um divisor comum de p e q, logo \gcd(p,q)\ge 2. Mas isso entra em contradição direta com a hipótese feita na etapa 3 de que escolhemos p e q com \gcd(p,q)=1 (forma irredutível). Portanto nossa suposição inicial (de que \sqrt{2} é racional) levou a uma contradição.

Passo 8

Como a suposição de que \sqrt{2} é racional leva a uma contradição lógica, concluímos que a suposição é falsa. Logo \sqrt{2} não é racional; isto é, \sqrt{2} é irracional.

Resposta

\sqrt{2} é irracional.

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