Use a prova por contradição para demostrar que:
é irracional
Passo 1
O enunciado pede que mostremos, usando prova por contradição, que
é irracional.
Informações dadas: o número em questão é e o método exigido é prova por contradição (ou seja, assumiremos o contrário e chegaremos a uma contradição).
Informações dadas: o número em questão é
Passo 2
Vamos fixar conceitos importantes que vamos usar (explicados de forma bem simples).
Definição de número racional: um número é racional se pode ser escrito como uma fração , onde
e
são inteiros,
. Podemos sempre escolher
e
de modo que a fração esteja em forma irredutível, isto é,
(o máximo divisor comum de
e
é
).
Definição de número irracional: um número que não pode ser escrito nessa forma com inteiros
.
Observação sobre paridade (par/ímpar): um inteiro é par se é da forma para algum inteiro
; é ímpar se é da forma
. Produto e potência preservam paridade de forma conhecida: se
é ímpar então
é ímpar; se
é par então
é par. Vou provar essa última afirmação quando precisar — é simples e útil.
Definição de número racional: um número é racional se pode ser escrito como uma fração
Definição de número irracional: um número que não pode ser escrito nessa forma
Observação sobre paridade (par/ímpar): um inteiro é par se é da forma
Passo 3
Iniciamos a prova por contradição assumindo o contrário do que queremos provar. Suponha que
é racional.
Então existem inteiros e
com
e
tais que
Então existem inteiros
Essa escolha com
é possível porque, se existisse uma representação qualquer, podemos simplificá-la até ficar irredutível.
Passo 4
A partir de
elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Essa igualdade é crucial: ela diz que
é um número par porque é igual a
vezes outro inteiro (
).
Passo 5
Mostro agora que, se
é par, então
é par.
Prova rápida: suponha, para ver a contrapartida, que fosse ímpar, então existe inteiro
tal que
. Então
Prova rápida: suponha, para ver a contrapartida, que
que é um número da forma
, ou seja, ímpar. Isso contradiz a informação anterior de que
é par. Logo
não pode ser ímpar; deve ser par. Portanto existe inteiro
tal que
Passo 6
Substituímos
na igualdade da etapa anterior
. Temos
ou seja
Dividindo ambos os lados por
obtemos
Isso mostra que
é par, e pelo mesmo raciocínio da etapa anterior (se
é par então
é par) concluímos que
também é par.
Passo 7
Chegamos então à conclusão de que tanto
quanto
são pares, ou seja, ambos são múltiplos de
. Isso significa que
é um divisor comum de
e
, logo
. Mas isso entra em contradição direta com a hipótese feita na etapa 3 de que escolhemos
e
com
(forma irredutível). Portanto nossa suposição inicial (de que
é racional) levou a uma contradição.
Passo 8
Como a suposição de que
é racional leva a uma contradição lógica, concluímos que a suposição é falsa. Logo
não é racional; isto é,
é irracional.